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Titre : Sur la Modélisation et l’Analyse Mathématique d’un Système de Réaction Diffusion de Gierer-Meinhardt Appliqué à la Morphogénèse Type de document : texte imprimé Auteurs : Guess,Naïma, Auteur ; Salim Mesbahi, Directeur de thèse Editeur : Setif:UFA Année de publication : 2018 Importance : 1 vol (81 f .) Format : 29 cm Langues : Français (fre) Langues originales : Français (fre) Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Modélisation
Système de Gierer-Meinhardt
Fonctionnelle de Lyapunov
Existence
Globale
Comportement asymptotiqueIndex. décimale : 519 Mathématiques appliquées, probabilités (statistiques mathématiques) Résumé :
Dans ce mémoire, On s’intéresse à l’analyse et la modélisation mathématique de
systèmes de réaction diffusion appliqués à la morphogénèse. On donne quelques modèles et on
étudie l’existence globale de solutions pour un système de Gierer-Meinhardt avec des conditions
aux limites de Neumann. On montre que les solutions sont globales et uniformément bornées.
L'idée de base de ces résultats est le choix judicieux de la fonctionnelle de Lyapunov. Par ailleurs,
on montre que sous certaines conditions sur les exposants du terme non linéaire, ces solutions
explosent en temps fini.Note de contenu :
Sommaire
1.1 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Positivité des Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Inégalités classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Formule de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Systèmes de réaction-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1 Résolution des équations de réaction-diffusion . . . . . . . . . . . . 11
1.6.2 Dérivation des équations de réaction-diffusion . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Fonctionnelle de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Semi groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Semi groupes et équations d’évolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.1 Types de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.2 Existence de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Modélisation et modèles de Gierer-Meinhardt 20
2.1 Modélisation et modèles mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Modélisation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Modèle mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3 Modèles de réaction diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Notes sur la morphogenèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 L’idée brillante d’Alan Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Définition et caractéristiques générales des effecteurs . . . . . . . . 24
viii
TABLE DES MATIÈRES
2.2.3 Trois cinétiques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.4 Une conjonction de réaction chimique et de diffusion . . . . . . . . 28
2.2.5 Formation de motifs dans une cellule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.6 Une validation expérimentale délicate . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Le modèle de Gierer-Meinhardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Quelques modèles de Gierer-Meinhardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Modèle de Gierer-Meinhardt sur la phyllotaxie . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Modèle de Gierer-Meinhardt de la formation de la tête d’hydre . . 36
2.4.3 Système de Gierer-Meinhardt avec conditions aux limites mixtes . 37
2.4.4 Système avec m composantes de type d’activateur-inhibiteur . . . 38
2.4.5 Modèle de Gierer-Meinhardt sur la formation des veines d’une
libellule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Analyse mathématique d’un modèle de Gierer-Meinhardt 41
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Position de problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Notations et résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1 Existence locale de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.2 Positivité de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Bornitude de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Comportement asymptotique de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Résultats d’explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A Conclusion générale et Perspectives 66
B Lemmes importants 68
B.1 Estimations préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
B.1.1 Construction des constantes M1 et M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
C Mathématiciens célèbres 73
BibliographyCôte titre : MAM/0267 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1mjuOmcKA2XIL7TSnyNsm1IOJAwEBzhzy/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Sur la Modélisation et l’Analyse Mathématique d’un Système de Réaction Diffusion de Gierer-Meinhardt Appliqué à la Morphogénèse [texte imprimé] / Guess,Naïma, Auteur ; Salim Mesbahi, Directeur de thèse . - [S.l.] : Setif:UFA, 2018 . - 1 vol (81 f .) ; 29 cm.
Langues : Français (fre) Langues originales : Français (fre)
Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Modélisation
Système de Gierer-Meinhardt
Fonctionnelle de Lyapunov
Existence
Globale
Comportement asymptotiqueIndex. décimale : 519 Mathématiques appliquées, probabilités (statistiques mathématiques) Résumé :
Dans ce mémoire, On s’intéresse à l’analyse et la modélisation mathématique de
systèmes de réaction diffusion appliqués à la morphogénèse. On donne quelques modèles et on
étudie l’existence globale de solutions pour un système de Gierer-Meinhardt avec des conditions
aux limites de Neumann. On montre que les solutions sont globales et uniformément bornées.
L'idée de base de ces résultats est le choix judicieux de la fonctionnelle de Lyapunov. Par ailleurs,
on montre que sous certaines conditions sur les exposants du terme non linéaire, ces solutions
explosent en temps fini.Note de contenu :
Sommaire
1.1 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Positivité des Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Inégalités classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Formule de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Systèmes de réaction-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1 Résolution des équations de réaction-diffusion . . . . . . . . . . . . 11
1.6.2 Dérivation des équations de réaction-diffusion . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Fonctionnelle de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Semi groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Semi groupes et équations d’évolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.1 Types de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.2 Existence de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Modélisation et modèles de Gierer-Meinhardt 20
2.1 Modélisation et modèles mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Modélisation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Modèle mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3 Modèles de réaction diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Notes sur la morphogenèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 L’idée brillante d’Alan Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Définition et caractéristiques générales des effecteurs . . . . . . . . 24
viii
TABLE DES MATIÈRES
2.2.3 Trois cinétiques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.4 Une conjonction de réaction chimique et de diffusion . . . . . . . . 28
2.2.5 Formation de motifs dans une cellule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.6 Une validation expérimentale délicate . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Le modèle de Gierer-Meinhardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Quelques modèles de Gierer-Meinhardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Modèle de Gierer-Meinhardt sur la phyllotaxie . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Modèle de Gierer-Meinhardt de la formation de la tête d’hydre . . 36
2.4.3 Système de Gierer-Meinhardt avec conditions aux limites mixtes . 37
2.4.4 Système avec m composantes de type d’activateur-inhibiteur . . . 38
2.4.5 Modèle de Gierer-Meinhardt sur la formation des veines d’une
libellule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Analyse mathématique d’un modèle de Gierer-Meinhardt 41
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Position de problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Notations et résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1 Existence locale de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.2 Positivité de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Bornitude de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Comportement asymptotique de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Résultats d’explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A Conclusion générale et Perspectives 66
B Lemmes importants 68
B.1 Estimations préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
B.1.1 Construction des constantes M1 et M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
C Mathématiciens célèbres 73
BibliographyCôte titre : MAM/0267 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1mjuOmcKA2XIL7TSnyNsm1IOJAwEBzhzy/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Exemplaires (1)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité MAM/0267 MAM/0267 Mémoire Bibliothéque des sciences Français Disponible
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