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| Titre : |
Anneaux, corps, résultants : algèbre pour L3, M1, agrégation |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
Félix Ulmer, Auteur |
| Editeur : |
Paris : Ellipses |
| Année de publication : |
2018 |
| Collection : |
Références sciences |
| Importance : |
1 vol. (185 p.) |
| Présentation : |
ill. |
| Format : |
24 cm |
| ISBN/ISSN/EAN : |
978-2-340-02575-2 |
| Note générale : |
Bibliogr. p. 181. Index |
| Langues : |
Français (fre) |
| Catégories : |
Mathématique
|
| Mots-clés : |
Anneaux (algèbre)
Corps algébriques
Agrégation de mathématiques |
| Index. décimale : |
512.44 Anneaux commutatifs (algèbres commutatives) |
| Résumé : |
Ce livre s'adresse aux étudiants de mathématiques de L3 et de M1 qui préparent un master recherche, l'agrégation de mathématiques ou un master mathématiques de l'information, cryptographie. Les aspects constructifs de la théorie des anneaux et des corps y sont illustrés à travers de nombreux exemples et applications. Le problème de la factorisation des polynômes sur différents anneaux ou corps sert de fil rouge tout au long du livre. La théorie des corps est présentée sans la correspondance de Galois afin de rendre le contenu plus accessible et indépendant de la théorie des groupes. Les corps finis sont traités en détail avec des applications en cryptographie et aux codes correcteurs d'erreurs. Le dernier chapitre, plus exigeant que le reste du livre, introduit la théorie de l'élimination à l'aide du résultant et ouvre la porte à de nombreuses applications. Les thèmes abordés sont : anneaux principaux, anneaux euclidiens, anneaux factoriels, factorisation de polynômes, tests d'irréductibilité, extensions de corps, clôtures algébriques, corps finis, codes correcteurs d'erreurs, résultant de deux polynômes et application à l'élimination." |
| Note de contenu : |
Table des matières
1 Anneaux, morphismes et idéaux
1.1 Définition................................
1.2 Idéaux.................................
1.3 Anneaux quotients........................... 7
1.4 Somme et produit d’idéaux...................... 15
2 Séries formelles, anneaux des polynômes192.1 Séries formelles, polynômes..................... 19
2.2 Division avec reste dans l’anneau des polynômes.......... 22
2.3 Polynômes à plusieurs variables................... 25
2.4 Polynômes symétriques........................ 26
3 Localisation, corps des fractions31
3.1 Idéaux premiers, idéaux maximaux................... 31
3.2 Localisation.............................. 33
4 Anneaux principaux39
4.1 Divisibilité.............................. 39
4.2 Anneaux principaux.......................... 42
4.3 Anneaux euclidiens.......................... 43
4.4 Éléments irréductibles, éléments premiers.............. 45
4.5 Polynômes sur un corps......................... 47
4.6 Corps finis............................... 49
5 Théorème chinois55
5.1 Théorème chinois........................... 55
5.2 Algorithme de Garner......................... 56
5.3 Partage de secret........................... 60
6 Anneaux factoriels63
6.1 Anneaux factoriels.......................... 63
6.2 Les anneaux principaux sont factoriels................
6.3 Théorème des deux carrés....................... 67
7 Polynômes sur un anneau factoriel737.1Afactoriel impliqueA[X]factoriel.................. 73
7.2 Tests d’irréductibilité.......................... 77
7.3 Pgcd de polynômes.......................... 80
8 Factorisation et racines de polynômes83
8.1 Partie sans facteur carré........................ 83
8.2 Algorithme de Kronecker....................... 86
8.3 Algorithme de Berlekamp....................... 88
8.4 Racines réelles............................. 91
9 Extensions de corps95
9.1 Degré d’une extension........................ 95
9.2 Extensions algébriques........................ 99
9.3 Constructions à la règle et au compas................. 102
10 Clôture algébrique, extensions séparables107
10.1 Corps de décomposition........................107
10.2 Clôture algébrique.......................... 110
10.3 Extensions séparables, élément primitif............... 112
11 Racines de l’unité, corps finis11711.1 Racines de l’unité............................117
11.2 Corps finis............................... 120
12 Codes correcteurs d’erreurs12713 Résultants135
13.1 Élimination et matrice de Sylvester.................. 135
13.2 Formule de Héron........................... 139
13.3 Théorème d’extension........................ 140
13.4 Calcul via l’algorithme d’Euclide................... 143
13.5 Résultant et racines.......................... 144
13.6 Factorisation sur une extension algébrique...............147
14 Corrigés de certains exercices155Bibliographie181 |
| Côte titre : |
Fs/23491-23493 |
Anneaux, corps, résultants : algèbre pour L3, M1, agrégation [texte imprimé] / Félix Ulmer, Auteur . - Paris : Ellipses, 2018 . - 1 vol. (185 p.) : ill. ; 24 cm. - ( Références sciences) . ISBN : 978-2-340-02575-2 Bibliogr. p. 181. Index Langues : Français ( fre)
| Catégories : |
Mathématique
|
| Mots-clés : |
Anneaux (algèbre)
Corps algébriques
Agrégation de mathématiques |
| Index. décimale : |
512.44 Anneaux commutatifs (algèbres commutatives) |
| Résumé : |
Ce livre s'adresse aux étudiants de mathématiques de L3 et de M1 qui préparent un master recherche, l'agrégation de mathématiques ou un master mathématiques de l'information, cryptographie. Les aspects constructifs de la théorie des anneaux et des corps y sont illustrés à travers de nombreux exemples et applications. Le problème de la factorisation des polynômes sur différents anneaux ou corps sert de fil rouge tout au long du livre. La théorie des corps est présentée sans la correspondance de Galois afin de rendre le contenu plus accessible et indépendant de la théorie des groupes. Les corps finis sont traités en détail avec des applications en cryptographie et aux codes correcteurs d'erreurs. Le dernier chapitre, plus exigeant que le reste du livre, introduit la théorie de l'élimination à l'aide du résultant et ouvre la porte à de nombreuses applications. Les thèmes abordés sont : anneaux principaux, anneaux euclidiens, anneaux factoriels, factorisation de polynômes, tests d'irréductibilité, extensions de corps, clôtures algébriques, corps finis, codes correcteurs d'erreurs, résultant de deux polynômes et application à l'élimination." |
| Note de contenu : |
Table des matières
1 Anneaux, morphismes et idéaux
1.1 Définition................................
1.2 Idéaux.................................
1.3 Anneaux quotients........................... 7
1.4 Somme et produit d’idéaux...................... 15
2 Séries formelles, anneaux des polynômes192.1 Séries formelles, polynômes..................... 19
2.2 Division avec reste dans l’anneau des polynômes.......... 22
2.3 Polynômes à plusieurs variables................... 25
2.4 Polynômes symétriques........................ 26
3 Localisation, corps des fractions31
3.1 Idéaux premiers, idéaux maximaux................... 31
3.2 Localisation.............................. 33
4 Anneaux principaux39
4.1 Divisibilité.............................. 39
4.2 Anneaux principaux.......................... 42
4.3 Anneaux euclidiens.......................... 43
4.4 Éléments irréductibles, éléments premiers.............. 45
4.5 Polynômes sur un corps......................... 47
4.6 Corps finis............................... 49
5 Théorème chinois55
5.1 Théorème chinois........................... 55
5.2 Algorithme de Garner......................... 56
5.3 Partage de secret........................... 60
6 Anneaux factoriels63
6.1 Anneaux factoriels.......................... 63
6.2 Les anneaux principaux sont factoriels................
6.3 Théorème des deux carrés....................... 67
7 Polynômes sur un anneau factoriel737.1Afactoriel impliqueA[X]factoriel.................. 73
7.2 Tests d’irréductibilité.......................... 77
7.3 Pgcd de polynômes.......................... 80
8 Factorisation et racines de polynômes83
8.1 Partie sans facteur carré........................ 83
8.2 Algorithme de Kronecker....................... 86
8.3 Algorithme de Berlekamp....................... 88
8.4 Racines réelles............................. 91
9 Extensions de corps95
9.1 Degré d’une extension........................ 95
9.2 Extensions algébriques........................ 99
9.3 Constructions à la règle et au compas................. 102
10 Clôture algébrique, extensions séparables107
10.1 Corps de décomposition........................107
10.2 Clôture algébrique.......................... 110
10.3 Extensions séparables, élément primitif............... 112
11 Racines de l’unité, corps finis11711.1 Racines de l’unité............................117
11.2 Corps finis............................... 120
12 Codes correcteurs d’erreurs12713 Résultants135
13.1 Élimination et matrice de Sylvester.................. 135
13.2 Formule de Héron........................... 139
13.3 Théorème d’extension........................ 140
13.4 Calcul via l’algorithme d’Euclide................... 143
13.5 Résultant et racines.......................... 144
13.6 Factorisation sur une extension algébrique...............147
14 Corrigés de certains exercices155Bibliographie181 |
| Côte titre : |
Fs/23491-23493 |
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Anneaux, corps, résultants
