University Sétif 1 FERHAT ABBAS Faculty of Sciences
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Auteur Elkadi, Mohamed |
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Titre : Introduction à la résolution des systèmes polynomiaux Type de document : texte imprimé Auteurs : Elkadi, Mohamed ; Mourrain, Bernard Editeur : Berlin : Springer Année de publication : 2007 Collection : Mathématique & Applications(59) Importance : 1 vol. (305 p.) Format : 24 cm ISBN/ISSN/EAN : 978-3-540-71646-4 Langues : Français (fre) Catégories : Mathématique Mots-clés : Gröbner, Bases de
Équations, Systèmes d'
Équations polynomiales
Mathématique appliquéesIndex. décimale : 510 - Mathématique Résumé : Les équations polynomiales apparaissent dans de nombreux domaines, pour modéliser des contraintes géométriques, des relations entre des grandeurs physiques, ou encore des propriétés satisfaites par certaines inconnues. Cet ouvrage est une introduction aux méthodes algébriques permettant de résoudre ce type d'équations. Ces méthodes sont accompagnées d'algorithmes, d'exemples et d'exercices, illustrant leurs applications. Note de contenu :
Sommaire
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Equations, Idéaux, Variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 8
1.3. Correspondance entre l’algèbre et la géométrie . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Quelques invariants numériques d’une variété algébrique . . . . 19
1.6. Un peu de géométrie projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Calcul dans une algèbre quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Réduction des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Ordres monomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. Idéaux monomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5. Algorithme de construction d’une base de Groebner . . . . . . . . . . 38
2.6. Quelques applications des bases de Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7. Bases de Groebner des sous-modules de K[x]m . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3. Dimension et degré d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1. Dimension d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Degré d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3. L’exemple d’une intersection complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4. Algèbres de dimension 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1. Cas d’une seule variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2. Idéaux 0-dimensionnels de K[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3. Dual de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4. Décomposition de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5. Idempotents de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6. Description des sous-algèbres Ai de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.7. Opérateurs de multiplication de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.8. Décomposition des opérateurs de multiplication de A . . . . . . . . 90
4.9. Forme de Chow de l’idéal I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.10. Représentation univariée rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.11. Nombre de racines réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.12. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5. Théorie des résultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1. Cas d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2. Cas multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3. Résultant sur Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4. Résultant torique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5. Résultant et bézoutien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6. Application des résultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.1. Intersection de deux courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2. Résolution de systèmes surdéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3. Résoudre en ajoutant une forme linéaire générique . . . . . . . . . . 156
6.4. Calcul d’une représentation univariée rationnelle . . . . . . . . . . . . 158
6.5. Résoudre en « cachant » une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.6. Problème d’implicitisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7. Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.1. Dualité et systèmes inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.2. Système inverse d’un point isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3. Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8. Algèbres de Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.1. Algèbres de Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.2. Passage du local au global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.3. Suites régulières et suites quasi-régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.4. Théorème de Wiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.5. Intersection complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9. Résidu algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.1. Définition du résidu et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.2. Lois de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.3. D’autres exemples de résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.4. Résidu et résolution algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.5. Résidu local et socle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.6. Quelques applications du résidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10. Calcul du résidu et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.1. Applications dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.2. Applications commodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
10.3. Structure de la matrice bézoutienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.4. Relations de dépendance algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
10.5. Algorithme de calcul des résidus multivariables . . . . . . . . . . . . . 269
10.6. Applications propres de Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.7. Exposant de Lojasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.8. Inversion d’une application polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.9. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Liste des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Liste des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Côte titre : Fs/2565-2566,Fs/6331-6336 Introduction à la résolution des systèmes polynomiaux [texte imprimé] / Elkadi, Mohamed ; Mourrain, Bernard . - Berlin : Springer, 2007 . - 1 vol. (305 p.) ; 24 cm. - (Mathématique & Applications(59)) .
ISBN : 978-3-540-71646-4
Langues : Français (fre)
Catégories : Mathématique Mots-clés : Gröbner, Bases de
Équations, Systèmes d'
Équations polynomiales
Mathématique appliquéesIndex. décimale : 510 - Mathématique Résumé : Les équations polynomiales apparaissent dans de nombreux domaines, pour modéliser des contraintes géométriques, des relations entre des grandeurs physiques, ou encore des propriétés satisfaites par certaines inconnues. Cet ouvrage est une introduction aux méthodes algébriques permettant de résoudre ce type d'équations. Ces méthodes sont accompagnées d'algorithmes, d'exemples et d'exercices, illustrant leurs applications. Note de contenu :
Sommaire
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Equations, Idéaux, Variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 8
1.3. Correspondance entre l’algèbre et la géométrie . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Quelques invariants numériques d’une variété algébrique . . . . 19
1.6. Un peu de géométrie projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Calcul dans une algèbre quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Réduction des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Ordres monomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. Idéaux monomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5. Algorithme de construction d’une base de Groebner . . . . . . . . . . 38
2.6. Quelques applications des bases de Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7. Bases de Groebner des sous-modules de K[x]m . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3. Dimension et degré d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1. Dimension d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Degré d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3. L’exemple d’une intersection complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4. Algèbres de dimension 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1. Cas d’une seule variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2. Idéaux 0-dimensionnels de K[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3. Dual de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4. Décomposition de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5. Idempotents de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6. Description des sous-algèbres Ai de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.7. Opérateurs de multiplication de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.8. Décomposition des opérateurs de multiplication de A . . . . . . . . 90
4.9. Forme de Chow de l’idéal I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.10. Représentation univariée rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.11. Nombre de racines réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.12. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5. Théorie des résultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1. Cas d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2. Cas multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3. Résultant sur Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4. Résultant torique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5. Résultant et bézoutien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6. Application des résultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.1. Intersection de deux courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2. Résolution de systèmes surdéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3. Résoudre en ajoutant une forme linéaire générique . . . . . . . . . . 156
6.4. Calcul d’une représentation univariée rationnelle . . . . . . . . . . . . 158
6.5. Résoudre en « cachant » une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.6. Problème d’implicitisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7. Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.1. Dualité et systèmes inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.2. Système inverse d’un point isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3. Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8. Algèbres de Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.1. Algèbres de Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.2. Passage du local au global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.3. Suites régulières et suites quasi-régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.4. Théorème de Wiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.5. Intersection complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9. Résidu algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.1. Définition du résidu et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.2. Lois de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.3. D’autres exemples de résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.4. Résidu et résolution algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.5. Résidu local et socle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.6. Quelques applications du résidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10. Calcul du résidu et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.1. Applications dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.2. Applications commodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
10.3. Structure de la matrice bézoutienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.4. Relations de dépendance algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
10.5. Algorithme de calcul des résidus multivariables . . . . . . . . . . . . . 269
10.6. Applications propres de Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.7. Exposant de Lojasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.8. Inversion d’une application polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.9. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Liste des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Liste des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Côte titre : Fs/2565-2566,Fs/6331-6336 Exemplaires (8)
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