University Sétif 1 FERHAT ABBAS Faculty of Sciences
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Auteur Berteloot, Fran§ois |
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Titre : Cinq le§ons d'analyse fonctionnelle : Cours et exercices corrigés Type de document : texte imprimé Auteurs : Berteloot, Fran§ois, Editeur : Paris : Ellipses Année de publication : 2017. Collection : R©f©rences sciences, ISSN 2260-8044. Importance : 1 vol. (249 p.) Présentation : couv. ill. en coul. Format : 24 cm. ISBN/ISSN/EAN : 978-2-340-02200-3 Note générale : 978-2-340-02200-3 Langues : Français (fre) Catégories : Mathématique Mots-clés : Analyse fonctionnelle :Problèmes et exercices Index. décimale : 515.7 Analyse fonctionnelle Résumé :
La 4e de couverture indique : "Ce livre est une introduction  l'analyse fonctionnelle, il couvre l'essentiel des th¨mes traditionnellement enseign©s au niveau du Master tout en traitant quelques sujets plus rarement abord©s. Il s'adresse en priorit© aux ©tudiants de Master mais pourra aussi int©resser les agr©gatifs qui y trouveront des exemples permettant d'illustrer leurs le§ons. Le livre commence par une revue des principaux espaces fonctionnels et l'©tude de l'espace des fonctions continues sur un compact. La th©orie g©n©rale est ensuite trait©e en trois rubriques correspondant  des m©thodes sp©cifiques : hilbertiennes, banachiques et enfin g©om©triques. Des exemples d'applications sont choisis dans des secteurs vari©s des math©matiques. Plus d'un tiers du livre est consacr©  des exercices ou probl¨mes ainsi qu' leurs solutions d©taill©es. Ces exercices sont introduits au fil du texte d¨s l'acquisition des connaissances n©cessaires  leur solution et celles-ci sont rassembl©es  la fin de l'ouvrage. Le livre est con§u pour pouvoir ªtre utilis© aussi bien comme support de cours que comme source d'exercices environn©s de rappels th©oriques"Note de contenu :
Sommaire
1 Un survol des principaux espaces fonctionnels 1
1.1 Espace des fonctions born´ees sur un ensemble . . . . . . . . . . 2
1.2 Espaces de fonctions d´efinies sur un espace topologique . . . . . 3
1.2.1 Espaces de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Espaces de fonctions d´efinies sur une partie de Rk ... 6
1.3 Espaces de fonctions mesur´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 L’espace de Hilbert L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Espaces d’applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Dual topologique d’un espace vectoriel norm´e . . . . . . 12
1.4.2 Applications lin´eaires continues entre espaces norm´es . . 14
1.4.3 Le th´eor`eme de Hahn-Banach dans le cas des espaces
s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.4 Espaces duaux des espaces C(K) et Lp ......... 19
2 Les espaces C(K) 23
2.1 Questions de compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Equicontinuit´e, proc´ed´e diagonal . . . . . . . . . . . . . ´ 24
2.1.2 Le th´eor`eme d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Le th´eor`eme de Banach-Alaoglu . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Questions d’approximation et de densit´e . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Le th´eor`eme de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 Le th´eor`eme de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . 36
2.3 L’universalit´e de C(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Plongements d’espaces de Banach dans C(K) et th´eor`eme
de Banach-Mazur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Vers le th´eor`eme de Gelfand-Naimark . . . . . . . . . . 44
3 M´ethodes hilbertiennes 47
3.1 Structure hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Formes sesquilin´eaires et hermitiennes . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
vi Table des mati`eres
3.1.3 Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Le Th´eor`eme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Projection de meilleure approximation . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Suppl´ementaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Propri´et´es essentielles des espaces de Hilbert . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Isom´etrie avec le dual topologique, op´erateur adjoint . . 55
3.3.2 Un crit`ere de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.3 Compacit´e faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.4 Bases hilbertiennes, s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . 64
3.4 Analyse spectrale des op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.1 Inversibilit´e, spectre et valeurs propres d’un op´erateur . 68
3.4.2 Op´erateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.3 R´eduction des op´erateurs normaux compacts . . . . . . 72
3.4.4 L’alternative de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 M´ethodes banachiques 81
4.1 Propri´et´es essentielles des espaces m´etriques complets . . . . . 82
4.1.1 Le th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.2 Quelques outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Lin´earit´e et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.1 Le th´eor`eme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . 87
4.2.2 Le th´eor`eme de l’application ouverte . . . . . . . . . . . 91
4.2.3 Le th´eor`eme du graphe ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3 Bases dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.1 Bases de Hamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.2 Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Prolongement des formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.1 Le th´eor`eme de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.2 Un crit`ere de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5 M´ethodes g´eom´etriques 115
5.1 Les convexes dans un espace norm´e . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1.1 Formes lin´eaires et fonctions convexes . . . . . . . . . . 116
5.1.2 Jauges et semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1.3 Le th´eor`eme de s´eparation de Hahn-Banach . . . . . . . 121
5.1.4 Points extr´emaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1.5 Th´eor`eme de Banach-Stone ; existence d’isom´etries et
points extr´emaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.6 Les th´eor`emes de Krein-Milman et de Choquet . . . . . 130
5.2 Espaces localement convexes (e.l.c) . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.1 Topologie induite par une famille de semi-normes . . . . 135
5.2.2 Extension aux e.l.c des th´eor`emes de Hahn-Banach, de
Krein-Milman et de Choquet . . . . . . . . . . . . . . . 136
Table des mati`eres vii
5.2.3 Topologies faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2.4 Dualit´e en topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.2.5 Born´es faibles et born´es forts, ferm´es faibles et ferm´es
forts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2.6 Le lemme de Goldstine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2.7 Compacit´e faible dans un espace dual . . . . . . . . . . 146
5.3 Espaces r´eflexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3.2 R´eflexivit´e et compacit´e faible de la boule unit´e . . . . . 148
5.3.3 R´eflexivit´e et convexit´e uniforme . . . . . . . . . . . . . 150
5.3.4 R´eflexivit´e et compacit´e s´equentielle faible . . . . . . . . 152
5.3.5 Le crit`ere de r´eflexivit´e de James . . . . . . . . . . . . . 153
Solutions des exercices 157
S.1 Exercices de la premi`ere le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
S.2 Exercices de la deuxi`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
S.3 Exercices de la troisi`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
S.4 Exercices sur la quatri`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
S.5 Exercices sur la cinqui`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Table des notations 225
Bibliographie 227
IndexCôte titre : Fs/22967-22968 Cinq le§ons d'analyse fonctionnelle : Cours et exercices corrigés [texte imprimé] / Berteloot, Fran§ois, . - Paris : Ellipses, 2017. . - 1 vol. (249 p.) : couv. ill. en coul. ; 24 cm.. - (R©f©rences sciences, ISSN 2260-8044.) .
ISBN : 978-2-340-02200-3
978-2-340-02200-3
Langues : Français (fre)
Catégories : Mathématique Mots-clés : Analyse fonctionnelle :Problèmes et exercices Index. décimale : 515.7 Analyse fonctionnelle Résumé :
La 4e de couverture indique : "Ce livre est une introduction  l'analyse fonctionnelle, il couvre l'essentiel des th¨mes traditionnellement enseign©s au niveau du Master tout en traitant quelques sujets plus rarement abord©s. Il s'adresse en priorit© aux ©tudiants de Master mais pourra aussi int©resser les agr©gatifs qui y trouveront des exemples permettant d'illustrer leurs le§ons. Le livre commence par une revue des principaux espaces fonctionnels et l'©tude de l'espace des fonctions continues sur un compact. La th©orie g©n©rale est ensuite trait©e en trois rubriques correspondant  des m©thodes sp©cifiques : hilbertiennes, banachiques et enfin g©om©triques. Des exemples d'applications sont choisis dans des secteurs vari©s des math©matiques. Plus d'un tiers du livre est consacr©  des exercices ou probl¨mes ainsi qu' leurs solutions d©taill©es. Ces exercices sont introduits au fil du texte d¨s l'acquisition des connaissances n©cessaires  leur solution et celles-ci sont rassembl©es  la fin de l'ouvrage. Le livre est con§u pour pouvoir ªtre utilis© aussi bien comme support de cours que comme source d'exercices environn©s de rappels th©oriques"Note de contenu :
Sommaire
1 Un survol des principaux espaces fonctionnels 1
1.1 Espace des fonctions born´ees sur un ensemble . . . . . . . . . . 2
1.2 Espaces de fonctions d´efinies sur un espace topologique . . . . . 3
1.2.1 Espaces de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Espaces de fonctions d´efinies sur une partie de Rk ... 6
1.3 Espaces de fonctions mesur´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 L’espace de Hilbert L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Espaces d’applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Dual topologique d’un espace vectoriel norm´e . . . . . . 12
1.4.2 Applications lin´eaires continues entre espaces norm´es . . 14
1.4.3 Le th´eor`eme de Hahn-Banach dans le cas des espaces
s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.4 Espaces duaux des espaces C(K) et Lp ......... 19
2 Les espaces C(K) 23
2.1 Questions de compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Equicontinuit´e, proc´ed´e diagonal . . . . . . . . . . . . . ´ 24
2.1.2 Le th´eor`eme d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Le th´eor`eme de Banach-Alaoglu . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Questions d’approximation et de densit´e . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Le th´eor`eme de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 Le th´eor`eme de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . 36
2.3 L’universalit´e de C(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Plongements d’espaces de Banach dans C(K) et th´eor`eme
de Banach-Mazur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Vers le th´eor`eme de Gelfand-Naimark . . . . . . . . . . 44
3 M´ethodes hilbertiennes 47
3.1 Structure hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Formes sesquilin´eaires et hermitiennes . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
vi Table des mati`eres
3.1.3 Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Le Th´eor`eme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Projection de meilleure approximation . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Suppl´ementaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Propri´et´es essentielles des espaces de Hilbert . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Isom´etrie avec le dual topologique, op´erateur adjoint . . 55
3.3.2 Un crit`ere de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.3 Compacit´e faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.4 Bases hilbertiennes, s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . 64
3.4 Analyse spectrale des op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.1 Inversibilit´e, spectre et valeurs propres d’un op´erateur . 68
3.4.2 Op´erateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.3 R´eduction des op´erateurs normaux compacts . . . . . . 72
3.4.4 L’alternative de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 M´ethodes banachiques 81
4.1 Propri´et´es essentielles des espaces m´etriques complets . . . . . 82
4.1.1 Le th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.2 Quelques outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Lin´earit´e et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.1 Le th´eor`eme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . 87
4.2.2 Le th´eor`eme de l’application ouverte . . . . . . . . . . . 91
4.2.3 Le th´eor`eme du graphe ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3 Bases dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.1 Bases de Hamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.2 Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Prolongement des formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.1 Le th´eor`eme de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.2 Un crit`ere de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5 M´ethodes g´eom´etriques 115
5.1 Les convexes dans un espace norm´e . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1.1 Formes lin´eaires et fonctions convexes . . . . . . . . . . 116
5.1.2 Jauges et semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1.3 Le th´eor`eme de s´eparation de Hahn-Banach . . . . . . . 121
5.1.4 Points extr´emaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1.5 Th´eor`eme de Banach-Stone ; existence d’isom´etries et
points extr´emaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.6 Les th´eor`emes de Krein-Milman et de Choquet . . . . . 130
5.2 Espaces localement convexes (e.l.c) . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.1 Topologie induite par une famille de semi-normes . . . . 135
5.2.2 Extension aux e.l.c des th´eor`emes de Hahn-Banach, de
Krein-Milman et de Choquet . . . . . . . . . . . . . . . 136
Table des mati`eres vii
5.2.3 Topologies faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2.4 Dualit´e en topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.2.5 Born´es faibles et born´es forts, ferm´es faibles et ferm´es
forts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2.6 Le lemme de Goldstine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2.7 Compacit´e faible dans un espace dual . . . . . . . . . . 146
5.3 Espaces r´eflexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3.2 R´eflexivit´e et compacit´e faible de la boule unit´e . . . . . 148
5.3.3 R´eflexivit´e et convexit´e uniforme . . . . . . . . . . . . . 150
5.3.4 R´eflexivit´e et compacit´e s´equentielle faible . . . . . . . . 152
5.3.5 Le crit`ere de r´eflexivit´e de James . . . . . . . . . . . . . 153
Solutions des exercices 157
S.1 Exercices de la premi`ere le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
S.2 Exercices de la deuxi`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
S.3 Exercices de la troisi`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
S.4 Exercices sur la quatri`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
S.5 Exercices sur la cinqui`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Table des notations 225
Bibliographie 227
IndexCôte titre : Fs/22967-22968 Exemplaires (2)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité Fs/22967 Fs/22967-22968 livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleFs/22968 Fs/22967-22968 livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
Disponible
