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| Titre : |
Groupes de symétrie en physique : brisure spontanée et transitions de phase |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
Jean Zinn-Justin, Auteur |
| Editeur : |
Les Ulis : EDP sciences |
| Année de publication : |
2022 |
| Importance : |
1 vol. (185 p.) |
| Format : |
23 cm |
| ISBN/ISSN/EAN : |
978-2-7598-2764-0 |
| Note générale : |
Bibliogr. p. XI-XII. Index |
| Langues : |
Français (fre) |
| Catégories : |
Physique
|
| Mots-clés : |
Symétrie (physique)
Transitions de phases |
| Index. décimale : |
530.1 Physique mathématique |
| Résumé : |
Le XXe siècle a vu émerger l'importance croissante de la notion de symétrie et donc de groupe de symétrie en physique. Chaque progrès dans la compréhension des lois fondamentales de la nature a impliqué de nouveaux aspects de l'application de la notion de symétrie. Dans ces conditions, bien que de nombreux ouvrages aient traité de ce sujet, il semble utile de l'examiner à nouveau dans le contexte le plus récent.
Cet ouvrage, issu de cours variés et de notes personnelles de l'auteur, s'adresse en premier lieu aux étudiants de masters, aux doctorants, aux jeunes chercheurs et enseignants. Le niveau mathématique cherche à rester aussi élémentaire que possible pour être accessible, et donc utile à un large public scientifique.
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| Note de contenu : |
Table des matières
1 Quelques réflexions sur le rôle des symétries en physique . . . . . . 1
2 La notion de groupe. Définition et propriétés . . . . . . . . . . . 5
2.1Groupes discrets. Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Groupes abéliens discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Groupe symétrique ou des permutations . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Transformations linéaires du réseau cubique général . . . . . . . . 12
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Groupes abéliens : translations, dilatations et groupe U(1) . . . . . 17
3.1 Translations sur la droite réelle et dilatations . . . . . . . . . . 17
3.2 Groupe U(1). Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Groupes de matrice et algèbres : généralités . . . . . . . . . . . . 23
4.1 Algèbres et groupe de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Isomorphismes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Déterminants et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Norme de matrices et exponentiation . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Transformations linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . 27
4.6Tenseurs. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.7 Représentations réductibles et irréductibles . . . . . . . . . . . 30
5 Groupes de Lie : rotations et réflexions du plan . . . . . . . . . . 31
5.1 Les groupes O(2) et SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Le groupe SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Représentations : formes bilinéaires et tenseurs . . . . . . . . . . 35
5.4 Décomposition en représentations irréductibles . . . . . . . . . . 37
5.5 Représentations des groupes U(1) et SO(2) . . . . . . . . . . . 40
5.6 Représentation complexe de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.7 Mécanique quantique et représentations de dimension infinie . . . . 42
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 Algèbres et groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.1 Définition et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Groupe et algèbre de Lie : représentation adjointe . . . . . . . . 48
6.3 Matrices complexes 2 × 2, matrices de Pauli et algèbre de Lie . . . 50
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Un groupe de Lie : le groupe orthogonal O(3) . . . . . . . . . . . 55
7.1 Groupe SO(3) et algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2 Représentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3 Les représentations matricielles de SO(3) . . . . . . . . . . . . 60
7.4 Mécanique classique et tenseurs : le tenseur d’inertie . . . . . . . 62
7.5 Espace de fonctions et représentations . . . . . . . . . . . . . . 63
8 Les groupes unitaires U(2) et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.1 Groupe SU(2) et matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.2 Représentation adjointe de SU(2) et groupe SO(3) . . . . . . . . 68
8.3 Algèbre de Lie de SU(2) : représentations irréductibles . . . . . . 70
8.4 Les groupes SU(2) × SU(2) et SO(4) . . . . . . . . . . . . . . 73
8.5 Les groupes SO(3) et SU(2) et la mécanique quantique . . . . . . 75
9 Groupes de Lie plus généraux, les groupes O(N) et U(N) . . . . . . 77
9.1 Groupes matriciels et algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . 77
9.2 Le groupe O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.3 Algèbre de Lie du groupe SO(N) : construction explicite . . . . . 81
9.4 Un exemple : l’algèbre de Lie du groupe SO(4) . . . . . . . . . 83
9.5 Groupes unitaires U(N) et SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.6 Groupes U(N) et O(2N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.7 Algèbre de Lie de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.8 Représentations de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.9 Un exemple : le groupe SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.10 Représentations irréductibles du groupe SU(3) . . . . . . . . . 94
10 Algèbres de Lie et opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . 97
10.1 Le groupe SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.2 Le groupe SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11 Groupe linéaire général GL(N,R) . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.1 Produit tensoriel et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.2 Groupe symétrique et tenseurs : réduction des représentations . 111
12 Symétries en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.1 Les équations du mouvement en mécanique lagrangienne . . . . 115
12.2 Mécanique hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.3 Transformations canoniques. Crochets de Poisson . . . . . . . 117
12.4 Symétries et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . 119
12.5 Théorie classique des champs. Théorème de Noether . . . . . . 122
13 Symétries en physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 125
13.1 Rappels minimaux de mécanique quantique . . . . . . . . . . 125
13.2 Opérateurs de position et d’impulsion . . . . . . . . . . . . 127
14 Marche au hasard : symétries émergentes . . . . . . . . . . . 133
14.1 Symétrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
15 Brisure spontanée de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . 141
15.1 Mécanique classique : symétries discrètes et continues . . . . . 141
15.2 Théorie des champs, symétries continues et modes de Goldstone . 143
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
16 Transitions de phase : approximation de champ moyen . . . . . 149
16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
16.2 ´Energie libre et potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . 151
16.3 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 152
16.4 Approximation de champ moyen . . . . . . . . . . . . . . 154
16.5 Symétrie Z2 et propriétés universelles . . . . . . . . . . . . 155
16.6 Spins `a N composantes : groupes O(N) et cubique . . . . . . 157
16.7 Fonctions de corrélation spin–spin . . . . . . . . . . . . . . 161
16.8 Existence de transitions de phase en basse dimension . . . . . 163
Appendices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A1 Groupes de Lie : remarque et autre application . . . . . . . . 167
A1.1 Algèbre de Lie : une identité utile et ses implications . . . . . 167
A1.2 Solide rigide classique libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A1.3 Oscillateur harmonique quantique et algèbre de Lie . . . . . . 171
A2 Relativité Restreinte et groupes . . . . . . . . . . . . . . . 175
A2.1 Groupe relativiste généralisé O(1,N) : définition et algèbre de Lie 175
A2.2 Les groupes O(1,N) pour N = 1 et N =2 . . . . . . . . . . 176
A2.3 Le groupe physique O(1,3) ou groupe de Lorentz . . . . . . . 178
A2.4 Matrices γ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 |
| Côte titre : |
Fs/24887 |
Groupes de symétrie en physique : brisure spontanée et transitions de phase [texte imprimé] / Jean Zinn-Justin, Auteur . - Les Ulis : EDP sciences, 2022 . - 1 vol. (185 p.) ; 23 cm. ISBN : 978-2-7598-2764-0 Bibliogr. p. XI-XII. Index Langues : Français ( fre)
| Catégories : |
Physique
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| Mots-clés : |
Symétrie (physique)
Transitions de phases |
| Index. décimale : |
530.1 Physique mathématique |
| Résumé : |
Le XXe siècle a vu émerger l'importance croissante de la notion de symétrie et donc de groupe de symétrie en physique. Chaque progrès dans la compréhension des lois fondamentales de la nature a impliqué de nouveaux aspects de l'application de la notion de symétrie. Dans ces conditions, bien que de nombreux ouvrages aient traité de ce sujet, il semble utile de l'examiner à nouveau dans le contexte le plus récent.
Cet ouvrage, issu de cours variés et de notes personnelles de l'auteur, s'adresse en premier lieu aux étudiants de masters, aux doctorants, aux jeunes chercheurs et enseignants. Le niveau mathématique cherche à rester aussi élémentaire que possible pour être accessible, et donc utile à un large public scientifique.
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| Note de contenu : |
Table des matières
1 Quelques réflexions sur le rôle des symétries en physique . . . . . . 1
2 La notion de groupe. Définition et propriétés . . . . . . . . . . . 5
2.1Groupes discrets. Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Groupes abéliens discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Groupe symétrique ou des permutations . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Transformations linéaires du réseau cubique général . . . . . . . . 12
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Groupes abéliens : translations, dilatations et groupe U(1) . . . . . 17
3.1 Translations sur la droite réelle et dilatations . . . . . . . . . . 17
3.2 Groupe U(1). Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Groupes de matrice et algèbres : généralités . . . . . . . . . . . . 23
4.1 Algèbres et groupe de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Isomorphismes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Déterminants et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Norme de matrices et exponentiation . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Transformations linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . 27
4.6Tenseurs. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.7 Représentations réductibles et irréductibles . . . . . . . . . . . 30
5 Groupes de Lie : rotations et réflexions du plan . . . . . . . . . . 31
5.1 Les groupes O(2) et SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Le groupe SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Représentations : formes bilinéaires et tenseurs . . . . . . . . . . 35
5.4 Décomposition en représentations irréductibles . . . . . . . . . . 37
5.5 Représentations des groupes U(1) et SO(2) . . . . . . . . . . . 40
5.6 Représentation complexe de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.7 Mécanique quantique et représentations de dimension infinie . . . . 42
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 Algèbres et groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.1 Définition et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Groupe et algèbre de Lie : représentation adjointe . . . . . . . . 48
6.3 Matrices complexes 2 × 2, matrices de Pauli et algèbre de Lie . . . 50
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Un groupe de Lie : le groupe orthogonal O(3) . . . . . . . . . . . 55
7.1 Groupe SO(3) et algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2 Représentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3 Les représentations matricielles de SO(3) . . . . . . . . . . . . 60
7.4 Mécanique classique et tenseurs : le tenseur d’inertie . . . . . . . 62
7.5 Espace de fonctions et représentations . . . . . . . . . . . . . . 63
8 Les groupes unitaires U(2) et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.1 Groupe SU(2) et matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.2 Représentation adjointe de SU(2) et groupe SO(3) . . . . . . . . 68
8.3 Algèbre de Lie de SU(2) : représentations irréductibles . . . . . . 70
8.4 Les groupes SU(2) × SU(2) et SO(4) . . . . . . . . . . . . . . 73
8.5 Les groupes SO(3) et SU(2) et la mécanique quantique . . . . . . 75
9 Groupes de Lie plus généraux, les groupes O(N) et U(N) . . . . . . 77
9.1 Groupes matriciels et algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . 77
9.2 Le groupe O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.3 Algèbre de Lie du groupe SO(N) : construction explicite . . . . . 81
9.4 Un exemple : l’algèbre de Lie du groupe SO(4) . . . . . . . . . 83
9.5 Groupes unitaires U(N) et SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.6 Groupes U(N) et O(2N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.7 Algèbre de Lie de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.8 Représentations de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.9 Un exemple : le groupe SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.10 Représentations irréductibles du groupe SU(3) . . . . . . . . . 94
10 Algèbres de Lie et opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . 97
10.1 Le groupe SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.2 Le groupe SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11 Groupe linéaire général GL(N,R) . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.1 Produit tensoriel et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.2 Groupe symétrique et tenseurs : réduction des représentations . 111
12 Symétries en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.1 Les équations du mouvement en mécanique lagrangienne . . . . 115
12.2 Mécanique hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.3 Transformations canoniques. Crochets de Poisson . . . . . . . 117
12.4 Symétries et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . 119
12.5 Théorie classique des champs. Théorème de Noether . . . . . . 122
13 Symétries en physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 125
13.1 Rappels minimaux de mécanique quantique . . . . . . . . . . 125
13.2 Opérateurs de position et d’impulsion . . . . . . . . . . . . 127
14 Marche au hasard : symétries émergentes . . . . . . . . . . . 133
14.1 Symétrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
15 Brisure spontanée de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . 141
15.1 Mécanique classique : symétries discrètes et continues . . . . . 141
15.2 Théorie des champs, symétries continues et modes de Goldstone . 143
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
16 Transitions de phase : approximation de champ moyen . . . . . 149
16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
16.2 ´Energie libre et potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . 151
16.3 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 152
16.4 Approximation de champ moyen . . . . . . . . . . . . . . 154
16.5 Symétrie Z2 et propriétés universelles . . . . . . . . . . . . 155
16.6 Spins `a N composantes : groupes O(N) et cubique . . . . . . 157
16.7 Fonctions de corrélation spin–spin . . . . . . . . . . . . . . 161
16.8 Existence de transitions de phase en basse dimension . . . . . 163
Appendices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A1 Groupes de Lie : remarque et autre application . . . . . . . . 167
A1.1 Algèbre de Lie : une identité utile et ses implications . . . . . 167
A1.2 Solide rigide classique libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A1.3 Oscillateur harmonique quantique et algèbre de Lie . . . . . . 171
A2 Relativité Restreinte et groupes . . . . . . . . . . . . . . . 175
A2.1 Groupe relativiste généralisé O(1,N) : définition et algèbre de Lie 175
A2.2 Les groupes O(1,N) pour N = 1 et N =2 . . . . . . . . . . 176
A2.3 Le groupe physique O(1,3) ou groupe de Lorentz . . . . . . . 178
A2.4 Matrices γ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 |
| Côte titre : |
Fs/24887 |
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Groupes de symétrie en physique
