University Sétif 1 FERHAT ABBAS Faculty of Sciences
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Auteur Ouaghlici,Imane |
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Titre : Sur la Stabilité de Lyapunov des Modèles Epidémiques SIRS Type de document : texte imprimé Auteurs : Ouaghlici,Imane, Auteur ; Salim Mesbahi, Directeur de thèse Editeur : Setif:UFA Année de publication : 2019 Importance : 1 vol (73 f .) Format : 29 cm Langues : Français (fre) Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Systèmes de réaction diffusion
Fonction de Lyapunov
Stabilité
Modèle
épidémique, modélisation, SIRS.Index. décimale : 510 Mathématique Résumé : ns ce mémoire, On s’intéresse à l’analyse et la modélisation mathématique
en épidémiologie. Ce travail s'inscrit dans une thématique pluridisciplinaire et son
objectif est d'étudier un modèle épidémique d'infections à immunité acquise non
permanente SIRS. Le taux d'incidence est supposé être une fonction générale non
linéaire des classes sensibles et infectieuses. En utilisant une technique basée sur la
fonction de Lyapunov, nous obtenons les conditions nécessaires et suffisantes pour la
stabilité non linéaire locale des équilibres. Des conditions assurant la stabilité globale
sont également obtenues.Note de contenu : Sommaire
List of Figures xi
1 Généralités et notions de base 1
1.1 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Rappel sur la théorie de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Ensemble invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Méthode de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Principe d’invariance de LaSalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Critère de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Méthode de Van den Driessche et Watmough pour le calcul de R0 . . . . . 12
2 Modélisation mathématique en épidémiologie 14
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Termes médicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Modélisation et modèles mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Que-est ce qu’un modèle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Que-est ce qu’un modèle mathématique ? . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Quel est le rapport d’épidémiologie avec les Maths? . . . . . . . . . 17
2.3.4 Modélisation mathématique en épidémiologie . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.5 Processus dynamique de l’infection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.6 Quel est le but de la modélisation ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.7 Etapes de la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
viii
TABLE DES MATIÈRES
2.4 Les différents types d’études épidémiologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Epidémiologie descriptive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2 Epidémiologie étiologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.3 Epidémiologie d’évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.4 Nombre de reproduction de base R0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Quelques modèles en épidémiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1 Les premiers modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.2 Modèles usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.3 Modèle déterministe ou stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.4 Les différentes modes de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Autres modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.1 Modèles appliqués au SIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.2 Modèle SIR appliqué à la grippe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.3 Modèle SICR d’Anderson-May appliqué à l’hépatite B . . . . . . . 30
2.7 Modèles de réaction diffussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7.1 Modèle appliqué à la grippe aviaire-humaine . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.2 Modèle appliqué à VIH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.3 Modèle en génétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Sur la stabilité d’un modèle épidémique 34
3.1 Epidémiologie de choléra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1 Epidémiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2 Physiopathologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.3 Formes cliniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Modélisation de choléra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Méthode de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2 Dynamique d’un modèle de choléra en fonction de l’âge d’infection 41
3.3 Introduction au problème étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 Instabilité / Stabilité non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Taux d’incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6.1 Principe de l’action de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.2 Taux d’incidence avec effet psychologique . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.3 Un taux d’incidence quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 Stabilité asymptotique globale non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
ix
TABLE DES MATIÈRES
A Conclusion générale et Perspectives 65
B Alexandre Lyapunov (1857-1918) 66
Bibliography 69
xCôte titre : MAM/0313 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1Cv74p-VrmgNfMYDO-qvpOZ-ZXNZu3VUX/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Sur la Stabilité de Lyapunov des Modèles Epidémiques SIRS [texte imprimé] / Ouaghlici,Imane, Auteur ; Salim Mesbahi, Directeur de thèse . - [S.l.] : Setif:UFA, 2019 . - 1 vol (73 f .) ; 29 cm.
Langues : Français (fre)
Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Systèmes de réaction diffusion
Fonction de Lyapunov
Stabilité
Modèle
épidémique, modélisation, SIRS.Index. décimale : 510 Mathématique Résumé : ns ce mémoire, On s’intéresse à l’analyse et la modélisation mathématique
en épidémiologie. Ce travail s'inscrit dans une thématique pluridisciplinaire et son
objectif est d'étudier un modèle épidémique d'infections à immunité acquise non
permanente SIRS. Le taux d'incidence est supposé être une fonction générale non
linéaire des classes sensibles et infectieuses. En utilisant une technique basée sur la
fonction de Lyapunov, nous obtenons les conditions nécessaires et suffisantes pour la
stabilité non linéaire locale des équilibres. Des conditions assurant la stabilité globale
sont également obtenues.Note de contenu : Sommaire
List of Figures xi
1 Généralités et notions de base 1
1.1 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Rappel sur la théorie de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Ensemble invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Méthode de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Principe d’invariance de LaSalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Critère de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Méthode de Van den Driessche et Watmough pour le calcul de R0 . . . . . 12
2 Modélisation mathématique en épidémiologie 14
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Termes médicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Modélisation et modèles mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Que-est ce qu’un modèle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Que-est ce qu’un modèle mathématique ? . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Quel est le rapport d’épidémiologie avec les Maths? . . . . . . . . . 17
2.3.4 Modélisation mathématique en épidémiologie . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.5 Processus dynamique de l’infection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.6 Quel est le but de la modélisation ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.7 Etapes de la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
viii
TABLE DES MATIÈRES
2.4 Les différents types d’études épidémiologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Epidémiologie descriptive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2 Epidémiologie étiologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.3 Epidémiologie d’évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.4 Nombre de reproduction de base R0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Quelques modèles en épidémiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1 Les premiers modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.2 Modèles usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.3 Modèle déterministe ou stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.4 Les différentes modes de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Autres modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.1 Modèles appliqués au SIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.2 Modèle SIR appliqué à la grippe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.3 Modèle SICR d’Anderson-May appliqué à l’hépatite B . . . . . . . 30
2.7 Modèles de réaction diffussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7.1 Modèle appliqué à la grippe aviaire-humaine . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.2 Modèle appliqué à VIH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.3 Modèle en génétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Sur la stabilité d’un modèle épidémique 34
3.1 Epidémiologie de choléra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1 Epidémiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2 Physiopathologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.3 Formes cliniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Modélisation de choléra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Méthode de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2 Dynamique d’un modèle de choléra en fonction de l’âge d’infection 41
3.3 Introduction au problème étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 Instabilité / Stabilité non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Taux d’incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6.1 Principe de l’action de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.2 Taux d’incidence avec effet psychologique . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.3 Un taux d’incidence quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 Stabilité asymptotique globale non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
ix
TABLE DES MATIÈRES
A Conclusion générale et Perspectives 65
B Alexandre Lyapunov (1857-1918) 66
Bibliography 69
xCôte titre : MAM/0313 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1Cv74p-VrmgNfMYDO-qvpOZ-ZXNZu3VUX/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Exemplaires (1)
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