Titre :	Introduction to metric & topological spaces
Type de document :	document électronique
Auteurs :	Nadhir Chougui, Auteur
Editeur :	Sétif:UFA1
Année de publication :	2025
Importance :	1 vol (101 f.)
Catégories :	Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P
Mots-clés :	Metric spaces Topological spaces Connected Spaces Compact Spaces
Index. décimale :	510 Mathématique
Résumé :	Chougui-Nadhir CONTENTS Introduction iii 1 Metric spaces 1 1.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Open balls, closed balls and spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Open sets, closed sets and neighbourhood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Interior, exterior, boundary and closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Distance between two sets, Diameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Equivalent metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7 Finite metric products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8.1 Continuous Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8.2 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.9 Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.9.1 Lipschitz and Contraction Mappings and Applications . . . . . . . . . . 21 1.10 Isometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.11 Normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Complete metric spaces 30 2.1 Convergence in a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Convergence and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Cauchy sequences and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Contractive mapping theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Topological spaces 41 3.1 Topology, Open sets and Closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Neighborhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Comparison of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Base and Neighborhood base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5 Interior points, Adherent points, Accumulation points, Isolated points, Boundary points, Exterior points and Dense sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5.1 Interior points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5.2 Adherent points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5.3 Accumulation points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5.4 Isolated Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ii Chougui-Nadhir 3.5.5 Boundary points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5.6 Exterior points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5.7 Dense sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.6 Separated Spaces (Hausdorff Spaces)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.7 Induced topology, Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.7.1 Induced topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.7.2 Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.8 Convergent sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.9 Continuous applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.10 Open and closed maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.11 Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4 Compact Spaces 79 4.1 Compactness in Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.1 Compact Spaces and Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.2 Properties of Compact Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 Compactness in metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.1 Precompact spaces and sequentially compact spaces . . . . . . . . . . . . 86 4.2.2 Properties of Compact Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5 Connected Spaces 92 5.1 Connectivity in Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.1.1 Connected Spaces and Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.1.2 Properties of Connected Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.1.3 Connected components, locally connected spaces . . . . . . . . . . . . . . 97 5.1.4 Path-connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.2 Connectedness in Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.2.1 Definitions and properties of connectivity in metric spaces . . . . . . . . 100 Bibliography 101
En ligne :	http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/6463/1/Cours-Topologi [...]
Format de la ressource électronique :	pdf

Introduction to metric & topological spaces [document électronique] / Nadhir Chougui, Auteur . - [S.l.] : Sétif:UFA1, 2025 . - 1 vol (101 f.).

Catégories :	Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P
Mots-clés :	Metric spaces Topological spaces Connected Spaces Compact Spaces
Index. décimale :	510 Mathématique
Résumé :	Chougui-Nadhir CONTENTS Introduction iii 1 Metric spaces 1 1.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Open balls, closed balls and spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Open sets, closed sets and neighbourhood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Interior, exterior, boundary and closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Distance between two sets, Diameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Equivalent metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7 Finite metric products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8.1 Continuous Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8.2 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.9 Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.9.1 Lipschitz and Contraction Mappings and Applications . . . . . . . . . . 21 1.10 Isometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.11 Normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Complete metric spaces 30 2.1 Convergence in a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Convergence and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Cauchy sequences and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Contractive mapping theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Topological spaces 41 3.1 Topology, Open sets and Closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Neighborhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Comparison of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Base and Neighborhood base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5 Interior points, Adherent points, Accumulation points, Isolated points, Boundary points, Exterior points and Dense sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5.1 Interior points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5.2 Adherent points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5.3 Accumulation points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5.4 Isolated Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ii Chougui-Nadhir 3.5.5 Boundary points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5.6 Exterior points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5.7 Dense sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.6 Separated Spaces (Hausdorff Spaces)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.7 Induced topology, Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.7.1 Induced topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.7.2 Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.8 Convergent sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.9 Continuous applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.10 Open and closed maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.11 Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4 Compact Spaces 79 4.1 Compactness in Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.1 Compact Spaces and Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.2 Properties of Compact Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 Compactness in metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.1 Precompact spaces and sequentially compact spaces . . . . . . . . . . . . 86 4.2.2 Properties of Compact Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5 Connected Spaces 92 5.1 Connectivity in Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.1.1 Connected Spaces and Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.1.2 Properties of Connected Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.1.3 Connected components, locally connected spaces . . . . . . . . . . . . . . 97 5.1.4 Path-connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.2 Connectedness in Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.2.1 Definitions and properties of connectivity in metric spaces . . . . . . . . 100 Bibliography 101
En ligne :	http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/6463/1/Cours-Topologi [...]
Format de la ressource électronique :	pdf