Titre :	Geometry : Course notes and exercises : Intended to the students of second year Bachelor in Mathematics
Autre titre :	Notes de cours et exercices
Type de document :	document électronique
Auteurs :	Abdelkader Saadallah, Auteur
Editeur :	Setif:UFA
Année de publication :	2025
Importance :	1 vol (93 f.)
Langues :	Anglais (eng)
Catégories :	Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P
Mots-clés :	Affine geometry Curvature of Plane
Index. décimale :	510 Mathématique
Note de contenu :	Contents 1 Affine geometry 7 1.1 Definition of an affine space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Examples of affine space structures on R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Lines and hyperplanes in affine space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Cartesian equations of lines in an affine plane . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Equations of lines in R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Cartesian equations of lines and plan in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Intersection of two planes (P) and (P’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Notion of Barycenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Affine subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Leibniz Vector Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Parametric equations and plane curves in affine space 27 2.1 Parameterized curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Eliminating the Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Tangents with Parametric Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 Derivative for Parametric Equations dy dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 Derivative for Parametric Equations dxdy. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.3 Second derivative for a parametric equation . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.4 Horizontal Tangent for Parametric Equations . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.5 Vertical Tangent for Parametric Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Arc Length of a Parametric Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1 Length of a curve y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Surface Area Generated by a Parametric Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5.1 Area under a Parametric Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5.2 Area of Surface of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Plotting a Curve in cartesian and Polar Coordinates 43 3.1 Plotting a Curve in cartesian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.1 Singular and regular points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.2 Symmetry in cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.3 Table of variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Polar Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.1 Polar to Cartesian Conversion Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.2 Periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.3 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.4 Table of variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.5 Plotting the polar equation curv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4 Curvature of Plane and Space Curves 61 4.1 Arc length Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.1 Arc Length Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.2 Steps to Perform Arc Length Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2 Curvature and center of curvarture of Space Curves (3D Curves) . . . . . . . . 63 4.2.1 Unit Tangent Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2.2 Principal normal vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2.3 Binormal Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.4 Curvature of space curves (3D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.5 Radius of cuevature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.6 Center of curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.3 Frenet–Serret Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.1 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.2 Frenet-Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4 Curvature and center of curvarture of of a Planar Curve (2D Curves) . . . . . 74 4.4.1 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4.2 Center of curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4.3 Evolute (or development) of a Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Côte titre :	PM/0042
En ligne :	http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/6561/1/PM-0042.pdf

Geometry : Course notes and exercises : Intended to the students of second year Bachelor in Mathematics ; Notes de cours et exercices [document électronique] / Abdelkader Saadallah, Auteur . - [S.l.] : Setif:UFA, 2025 . - 1 vol (93 f.).
Langues : Anglais (eng)

Catégories :	Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P
Mots-clés :	Affine geometry Curvature of Plane
Index. décimale :	510 Mathématique
Note de contenu :	Contents 1 Affine geometry 7 1.1 Definition of an affine space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Examples of affine space structures on R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Lines and hyperplanes in affine space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Cartesian equations of lines in an affine plane . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Equations of lines in R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Cartesian equations of lines and plan in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Intersection of two planes (P) and (P’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Notion of Barycenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Affine subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Leibniz Vector Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Parametric equations and plane curves in affine space 27 2.1 Parameterized curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Eliminating the Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Tangents with Parametric Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 Derivative for Parametric Equations dy dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 Derivative for Parametric Equations dxdy. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.3 Second derivative for a parametric equation . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.4 Horizontal Tangent for Parametric Equations . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.5 Vertical Tangent for Parametric Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Arc Length of a Parametric Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1 Length of a curve y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Surface Area Generated by a Parametric Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5.1 Area under a Parametric Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5.2 Area of Surface of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Plotting a Curve in cartesian and Polar Coordinates 43 3.1 Plotting a Curve in cartesian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.1 Singular and regular points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.2 Symmetry in cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.3 Table of variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Polar Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.1 Polar to Cartesian Conversion Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.2 Periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.3 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.4 Table of variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.5 Plotting the polar equation curv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4 Curvature of Plane and Space Curves 61 4.1 Arc length Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.1 Arc Length Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.2 Steps to Perform Arc Length Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2 Curvature and center of curvarture of Space Curves (3D Curves) . . . . . . . . 63 4.2.1 Unit Tangent Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2.2 Principal normal vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2.3 Binormal Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.4 Curvature of space curves (3D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.5 Radius of cuevature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.6 Center of curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.3 Frenet–Serret Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.1 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.2 Frenet-Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4 Curvature and center of curvarture of of a Planar Curve (2D Curves) . . . . . 74 4.4.1 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4.2 Center of curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4.3 Evolute (or development) of a Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Côte titre :	PM/0042
En ligne :	http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/6561/1/PM-0042.pdf