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| Titre : |
Function spaces and potential theory |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
David R. Adams ; Lars inge Hedberg |
| Editeur : |
Berlin : Springer |
| Année de publication : |
1999 |
| Collection : |
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, ISSN 0072-7830 ; 314 |
| Importance : |
1 vol. (366 p.) |
| Format : |
24 cm |
| ISBN/ISSN/EAN : |
978-3-540-57060-8 |
| Langues : |
Anglais (eng) |
| Catégories : |
Mathématique
|
| Mots-clés : |
Function spaces
Espaces fonctionnels
Potentiel, Théorie du |
| Index. décimale : |
510 - Mathématique |
| Résumé : |
Le sujet de ce livre est l’interaction entre la théorie de l’espace fonctionnel et la théorie du potentiel. Une étape cruciale de la théorie du potentiel classique est l'identification de l'énergie potentielle d'une charge avec le carré d'une norme d'espace de Hilbert. Ceci conduit à l’espace de Dirichlet de fonctions localement intégrables dont les gradients sont carré intégrables. Plus récemment, une théorie du potentiel généralisée a été développée, qui a une relation analogue avec les espaces de fonctions standard de Banach, les espaces de Sobolev, les espaces de Besov, etc., qui apparaissent naturellement dans l'étude des équations aux dérivées partielles. Une partie étonnamment importante de la théorie du potentiel classique a été étendue à ce paramètre non linéaire. Les extensions sont parfois surprenantes, généralement non triviales et ont nécessité de nouvelles méthodes.
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| Note de contenu : |
Sommaire
1. Preliminaries.
- 1.1 Basics.
- 1.1.1 Convention.
- 1.1.2 Notation.
- 1.1.3 Spaces of Functions and Their Duals.
- 1.1.4 Maximal Functions.
- 1.1.5 Integral Inequalities.
- 1.1.6 Distributions.
- 1.1.7 The Fourier Transform.
- 1.1.8 The Riesz Transform and Singular Integrals.
- 1.2 Sobolev Spaces and Bessel Potentials.- 1.2.1 Sobolev Spaces.
- 1.2.2 Riesz Potentials.
- 1.2.3 Bessel Potentials.
- 1.2.4 Bessel Kernels.
- 1.2.5 Some Classical Formulas for Bessel Functions.
- 1.2.6 Bessel Potential Spaces.
- 1.2.7 The Sobolev Imbedding Theorem.
- 1.3 Banach Spaces.
- 1.4 Two Covering Lemmas.
- 2. Lp-Capacities and Nonlinear Potentials.
- 2.1 Introduction.
- 2.2 A First Version of (?, p)-Capacity.
- 2.3 A General Theory for LP-Capacities.
- 2.4 The Minimax Theorem.
- 2.5 The Dual Definition of Capacity.
- 2.6 Radially Decreasing Convolution Kernels.
- 2.7 An Alternative Definition of Capacity and Removability of Singularities.
- 2.8 Further Results.
- 2.9 Notes.
- 3. Estimates for Bessel and Riesz Potentials.
- 3.1 Pointwise and Integral Estimates.
- 3.2 A Sharp Exponential Estimate.
- 3.3 Operations on Potentials.
- 3.4 One-Sided Approximation.
- 3.5 Operations on Potentials with Fractional Index.
- 3.6 Potentials and Maximal Functions.
- 3.7 Further Results.
- 3.8 Notes.
- 4. Besov Spaces and Lizorkin-Triebel Spaces.
- 4.1 Besov Spaces.
- 4.2 Lizorkin-Triebel Spaces.
- 4.3 Lizorkin-Triebel Spaces, Continued.
- 4.4 More Nonlinear Potentials.
- 4.5 An Inequality of Wolff.
- 4.6 An Atomic Decomposition.
- 4.7 Atomic Nonlinear Potentials.
- 4.8 A Characterization of L?,P.
- 4.9 Notes.- 5. Metric Properties of Capacities.
- 5.1 Comparison Theorems.- 5.2 Lipschitz Mappings and Capacities.
- 5.3 The Capacity of Cantor Sets.
- 5.4 Sharpness of Comparison Theorems.
- 5.5 Relations Between Different Capacities.
- 5.6 Further Results.
- 5.7 Notes.
- 6. Continuity Properties.
- 6.1 Quasicontinuity.
- 6.2 Lebesgue Points.
- 6.3 Thin Sets.
- 6.4 Fine Continuity.
- 6.5 Further Results.
- 6.6 Notes.
- 7. Trace and Imbedding Theorems.
- 7.1 A Capacitary Strong Type Inequality
- 7.2 Imbedding of Potentials.
- 7.3 Compactness of the Imbedding.
- 7.4 A Space of Quasicontinuous Functions.
- 7.5 A Capacitary Strong Type Inequality. Another Approach.
- 7.6 Further Results.
- 7.7 Notes.
- 8. Poincare Type Inequalities.
- 8.1 Some Basic Inequalities.
- 8.2 Inequalities Depending on Capacities.
- 8.3 An Abstract Approach.
- 8.4 Notes.
- 9. An Approximation Theorem.
- 9.1 Statement of Results.
- 9.2 The Case m = 1.
- 9.3 The General Case. Outline.
- 9.4 The Uniformly (1, p)-Thick Case.
- 9.5 The General Thick Case.
- 9.6 Proof of Lemma
9.5.2 for m = 1.
- 9.7 Proof of Lemma 9.5.2.
- 9.8 Estimates for Nonlinear Potentials.
- 9.9 The Case Cm p(K) = 0.
- 9.10 The Case Ck,p(K) = 0, 1 ? k < m.
- 9.11 Conclusion of the Proof
.- 9.12 Further Results.- 9.13 Notes.
- 10. Two Theorems of Netrusov.
- 10.1 An Approximation Theorem, Another Approach.
- 10.2 A Generalization of a Theorem of Whitney.
- 10.3 Further Results.
- 10.4 Notes.
- 11. Rational and Harmonic Approximation.
- 11.1 Approximation and Stability.
- 11.2 Approximation by Harmonic Functions in Gradient Norm.
- 11.3 Stability of Sets Without Interior.
- 11.4 Stability of Sets with Interior.
- 11.5 Approximation by Harmonic Functions and Higher Order Stability.
- 11.6 Further Results.
- 11.7 Notes.
- References.
- List of Symbols. |
| Côte titre : |
Fs/6330 |
Function spaces and potential theory [texte imprimé] / David R. Adams ; Lars inge Hedberg . - [S.l.] : Berlin : Springer, 1999 . - 1 vol. (366 p.) ; 24 cm. - ( Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, ISSN 0072-7830 ; 314) . ISBN : 978-3-540-57060-8 Langues : Anglais ( eng)
| Catégories : |
Mathématique
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| Mots-clés : |
Function spaces
Espaces fonctionnels
Potentiel, Théorie du |
| Index. décimale : |
510 - Mathématique |
| Résumé : |
Le sujet de ce livre est l’interaction entre la théorie de l’espace fonctionnel et la théorie du potentiel. Une étape cruciale de la théorie du potentiel classique est l'identification de l'énergie potentielle d'une charge avec le carré d'une norme d'espace de Hilbert. Ceci conduit à l’espace de Dirichlet de fonctions localement intégrables dont les gradients sont carré intégrables. Plus récemment, une théorie du potentiel généralisée a été développée, qui a une relation analogue avec les espaces de fonctions standard de Banach, les espaces de Sobolev, les espaces de Besov, etc., qui apparaissent naturellement dans l'étude des équations aux dérivées partielles. Une partie étonnamment importante de la théorie du potentiel classique a été étendue à ce paramètre non linéaire. Les extensions sont parfois surprenantes, généralement non triviales et ont nécessité de nouvelles méthodes.
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| Note de contenu : |
Sommaire
1. Preliminaries.
- 1.1 Basics.
- 1.1.1 Convention.
- 1.1.2 Notation.
- 1.1.3 Spaces of Functions and Their Duals.
- 1.1.4 Maximal Functions.
- 1.1.5 Integral Inequalities.
- 1.1.6 Distributions.
- 1.1.7 The Fourier Transform.
- 1.1.8 The Riesz Transform and Singular Integrals.
- 1.2 Sobolev Spaces and Bessel Potentials.- 1.2.1 Sobolev Spaces.
- 1.2.2 Riesz Potentials.
- 1.2.3 Bessel Potentials.
- 1.2.4 Bessel Kernels.
- 1.2.5 Some Classical Formulas for Bessel Functions.
- 1.2.6 Bessel Potential Spaces.
- 1.2.7 The Sobolev Imbedding Theorem.
- 1.3 Banach Spaces.
- 1.4 Two Covering Lemmas.
- 2. Lp-Capacities and Nonlinear Potentials.
- 2.1 Introduction.
- 2.2 A First Version of (?, p)-Capacity.
- 2.3 A General Theory for LP-Capacities.
- 2.4 The Minimax Theorem.
- 2.5 The Dual Definition of Capacity.
- 2.6 Radially Decreasing Convolution Kernels.
- 2.7 An Alternative Definition of Capacity and Removability of Singularities.
- 2.8 Further Results.
- 2.9 Notes.
- 3. Estimates for Bessel and Riesz Potentials.
- 3.1 Pointwise and Integral Estimates.
- 3.2 A Sharp Exponential Estimate.
- 3.3 Operations on Potentials.
- 3.4 One-Sided Approximation.
- 3.5 Operations on Potentials with Fractional Index.
- 3.6 Potentials and Maximal Functions.
- 3.7 Further Results.
- 3.8 Notes.
- 4. Besov Spaces and Lizorkin-Triebel Spaces.
- 4.1 Besov Spaces.
- 4.2 Lizorkin-Triebel Spaces.
- 4.3 Lizorkin-Triebel Spaces, Continued.
- 4.4 More Nonlinear Potentials.
- 4.5 An Inequality of Wolff.
- 4.6 An Atomic Decomposition.
- 4.7 Atomic Nonlinear Potentials.
- 4.8 A Characterization of L?,P.
- 4.9 Notes.- 5. Metric Properties of Capacities.
- 5.1 Comparison Theorems.- 5.2 Lipschitz Mappings and Capacities.
- 5.3 The Capacity of Cantor Sets.
- 5.4 Sharpness of Comparison Theorems.
- 5.5 Relations Between Different Capacities.
- 5.6 Further Results.
- 5.7 Notes.
- 6. Continuity Properties.
- 6.1 Quasicontinuity.
- 6.2 Lebesgue Points.
- 6.3 Thin Sets.
- 6.4 Fine Continuity.
- 6.5 Further Results.
- 6.6 Notes.
- 7. Trace and Imbedding Theorems.
- 7.1 A Capacitary Strong Type Inequality
- 7.2 Imbedding of Potentials.
- 7.3 Compactness of the Imbedding.
- 7.4 A Space of Quasicontinuous Functions.
- 7.5 A Capacitary Strong Type Inequality. Another Approach.
- 7.6 Further Results.
- 7.7 Notes.
- 8. Poincare Type Inequalities.
- 8.1 Some Basic Inequalities.
- 8.2 Inequalities Depending on Capacities.
- 8.3 An Abstract Approach.
- 8.4 Notes.
- 9. An Approximation Theorem.
- 9.1 Statement of Results.
- 9.2 The Case m = 1.
- 9.3 The General Case. Outline.
- 9.4 The Uniformly (1, p)-Thick Case.
- 9.5 The General Thick Case.
- 9.6 Proof of Lemma
9.5.2 for m = 1.
- 9.7 Proof of Lemma 9.5.2.
- 9.8 Estimates for Nonlinear Potentials.
- 9.9 The Case Cm p(K) = 0.
- 9.10 The Case Ck,p(K) = 0, 1 ? k < m.
- 9.11 Conclusion of the Proof
.- 9.12 Further Results.- 9.13 Notes.
- 10. Two Theorems of Netrusov.
- 10.1 An Approximation Theorem, Another Approach.
- 10.2 A Generalization of a Theorem of Whitney.
- 10.3 Further Results.
- 10.4 Notes.
- 11. Rational and Harmonic Approximation.
- 11.1 Approximation and Stability.
- 11.2 Approximation by Harmonic Functions in Gradient Norm.
- 11.3 Stability of Sets Without Interior.
- 11.4 Stability of Sets with Interior.
- 11.5 Approximation by Harmonic Functions and Higher Order Stability.
- 11.6 Further Results.
- 11.7 Notes.
- References.
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