Titre :	Introduction à la résolution des systèmes polynomiaux
Type de document :	texte imprimé
Auteurs :	Elkadi, Mohamed ; Mourrain, Bernard
Editeur :	Berlin : Springer
Année de publication :	2007
Collection :	Mathématique & Applications(59)
Importance :	1 vol. (305 p.)
Format :	24 cm
ISBN/ISSN/EAN :	978-3-540-71646-4
Langues :	Français (fre)
Catégories :	Mathématique
Mots-clés :	Gröbner, Bases de Équations, Systèmes d' Équations polynomiales Mathématique appliquées
Index. décimale :	510 - Mathématique
Résumé :	Les équations polynomiales apparaissent dans de nombreux domaines, pour modéliser des contraintes géométriques, des relations entre des grandeurs physiques, ou encore des propriétés satisfaites par certaines inconnues. Cet ouvrage est une introduction aux méthodes algébriques permettant de résoudre ce type d'équations. Ces méthodes sont accompagnées d'algorithmes, d'exemples et d'exercices, illustrant leurs applications.
Note de contenu :	Sommaire Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Equations, Idéaux, Variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 8 1.3. Correspondance entre l’algèbre et la géométrie . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Quelques invariants numériques d’une variété algébrique . . . . 19 1.6. Un peu de géométrie projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2. Calcul dans une algèbre quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Réduction des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Ordres monomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4. Idéaux monomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5. Algorithme de construction d’une base de Groebner . . . . . . . . . . 38 2.6. Quelques applications des bases de Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.7. Bases de Groebner des sous-modules de K[x]m . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3. Dimension et degré d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1. Dimension d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2. Degré d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3. L’exemple d’une intersection complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4. Algèbres de dimension 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1. Cas d’une seule variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2. Idéaux 0-dimensionnels de K[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3. Dual de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.4. Décomposition de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5. Idempotents de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6. Description des sous-algèbres Ai de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.7. Opérateurs de multiplication de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.8. Décomposition des opérateurs de multiplication de A . . . . . . . . 90 4.9. Forme de Chow de l’idéal I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.10. Représentation univariée rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.11. Nombre de racines réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.12. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5. Théorie des résultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.1. Cas d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2. Cas multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.3. Résultant sur Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.4. Résultant torique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.5. Résultant et bézoutien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6. Application des résultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.1. Intersection de deux courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.2. Résolution de systèmes surdéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3. Résoudre en ajoutant une forme linéaire générique . . . . . . . . . . 156 6.4. Calcul d’une représentation univariée rationnelle . . . . . . . . . . . . 158 6.5. Résoudre en « cachant » une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.6. Problème d’implicitisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7. Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.1. Dualité et systèmes inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.2. Système inverse d’un point isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.3. Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8. Algèbres de Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.1. Algèbres de Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.2. Passage du local au global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.3. Suites régulières et suites quasi-régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.4. Théorème de Wiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.5. Intersection complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9. Résidu algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.1. Définition du résidu et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.2. Lois de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.3. D’autres exemples de résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 9.4. Résidu et résolution algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.5. Résidu local et socle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.6. Quelques applications du résidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 9.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 10. Calcul du résidu et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 10.1. Applications dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 10.2. Applications commodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.3. Structure de la matrice bézoutienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 10.4. Relations de dépendance algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.5. Algorithme de calcul des résidus multivariables . . . . . . . . . . . . . 269 10.6. Applications propres de Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.7. Exposant de Lojasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 10.8. Inversion d’une application polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 10.9. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Liste des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Liste des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Côte titre :	Fs/2565-2566,Fs/6331-6336

Introduction à la résolution des systèmes polynomiaux [texte imprimé] / Elkadi, Mohamed ; Mourrain, Bernard . - Berlin : Springer, 2007 . - 1 vol. (305 p.) ; 24 cm. - (Mathématique & Applications(59)) .
ISBN : 978-3-540-71646-4
Langues : Français (fre)

Catégories :	Mathématique
Mots-clés :	Gröbner, Bases de Équations, Systèmes d' Équations polynomiales Mathématique appliquées
Index. décimale :	510 - Mathématique
Résumé :	Les équations polynomiales apparaissent dans de nombreux domaines, pour modéliser des contraintes géométriques, des relations entre des grandeurs physiques, ou encore des propriétés satisfaites par certaines inconnues. Cet ouvrage est une introduction aux méthodes algébriques permettant de résoudre ce type d'équations. Ces méthodes sont accompagnées d'algorithmes, d'exemples et d'exercices, illustrant leurs applications.
Note de contenu :	Sommaire Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Equations, Idéaux, Variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 8 1.3. Correspondance entre l’algèbre et la géométrie . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Quelques invariants numériques d’une variété algébrique . . . . 19 1.6. Un peu de géométrie projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2. Calcul dans une algèbre quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Réduction des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Ordres monomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4. Idéaux monomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5. Algorithme de construction d’une base de Groebner . . . . . . . . . . 38 2.6. Quelques applications des bases de Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.7. Bases de Groebner des sous-modules de K[x]m . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3. Dimension et degré d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1. Dimension d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2. Degré d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3. L’exemple d’une intersection complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4. Algèbres de dimension 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1. Cas d’une seule variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2. Idéaux 0-dimensionnels de K[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3. Dual de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.4. Décomposition de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5. Idempotents de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6. Description des sous-algèbres Ai de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.7. Opérateurs de multiplication de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.8. Décomposition des opérateurs de multiplication de A . . . . . . . . 90 4.9. Forme de Chow de l’idéal I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.10. Représentation univariée rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.11. Nombre de racines réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.12. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5. Théorie des résultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.1. Cas d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2. Cas multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.3. Résultant sur Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.4. Résultant torique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.5. Résultant et bézoutien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6. Application des résultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.1. Intersection de deux courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.2. Résolution de systèmes surdéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3. Résoudre en ajoutant une forme linéaire générique . . . . . . . . . . 156 6.4. Calcul d’une représentation univariée rationnelle . . . . . . . . . . . . 158 6.5. Résoudre en « cachant » une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.6. Problème d’implicitisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7. Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.1. Dualité et systèmes inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.2. Système inverse d’un point isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.3. Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8. Algèbres de Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.1. Algèbres de Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.2. Passage du local au global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.3. Suites régulières et suites quasi-régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.4. Théorème de Wiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.5. Intersection complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9. Résidu algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.1. Définition du résidu et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.2. Lois de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.3. D’autres exemples de résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 9.4. Résidu et résolution algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.5. Résidu local et socle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.6. Quelques applications du résidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 9.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 10. Calcul du résidu et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 10.1. Applications dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 10.2. Applications commodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.3. Structure de la matrice bézoutienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 10.4. Relations de dépendance algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.5. Algorithme de calcul des résidus multivariables . . . . . . . . . . . . . 269 10.6. Applications propres de Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.7. Exposant de Lojasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 10.8. Inversion d’une application polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 10.9. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Liste des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Liste des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Côte titre :	Fs/2565-2566,Fs/6331-6336