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Auteur Abdenacer Makhlouf |
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Titre : Cohomologie et déformations des Hom-bialgèbres et algèbres Hom-Hopf Type de document : texte imprimé Auteurs : Khadra Dekkar, Auteur ; Abdenacer Makhlouf, Directeur de thèse Editeur : Setif:UFA Importance : 1 vol (116 f.) Format : 29 cm Langues : Français (fre) Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Algèbre Hom-associative,
Hom-coalgèbre,
Hom-bialgèbre,
Algèbre Hom-Hopf,
Bimodule,
Bicomodule,
Cohomologie de Hochschild et déformation.Index. décimale : 510 Mathématique Résumé :
Résumé :
Le travail porte sur la cohomologie et les déformations des Hom-bialgèbres et algèbres Hom-Hopf qui
sont des versions modifiées par un morphisme des structures classiques de bialgèbre et algèbre de Hopf liées
aux groupes quantiques. Les algèbres de type-hom sont apparues dans les déformations quantiques des
algèbres de Witt et Virasoro, comme une généralisation des algèbres de Lie. Premièrement on rappelle la
théorie des algèbres de type-Hom et les propriétés établies, puis on introduit les A-bimodules et Cbicomodules nécessaire pour la définition de la cohomologie, puis leur dualité. Enfin on établit une théorie
des déformations formelles pour les Hom-bialgèbres généralisant la théorie de déformation de Gerstenhaber.Note de contenu :
Table of Contents
Introduction 5
1 Bialgebras and Hopf algebras 11
1.1 Algebras and coalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Bialgebras and Hopf algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Classification in low dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 Classifications in Dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Classifications in Dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Hom-bialgebras and Hom-Hopf algebras 25
2.1 Unital Hom-associative algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Counital Hom-coassociative coalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Duality between Hom-associative algebras and Hom-coassociative coalgebras 35
2.4 Hom-Hopf algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Hom-bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Hom-Hopf algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.3 Antipode’s properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Modules and comodules of Hom-Hopf algebras 58
3.1 Modules over Hom-associative algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Comodules over Hom-coassociative coalgebras. . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Duality between modules and comodules of Hom-Hopf algebras . . . . . . . 71
3.4 Tensor product of bimodules and bicomodules . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 Gerstenhaber-Schack Cohomology for Hom-bialgebras 80
4.1 Hochschild Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Hochschild Cohomology for Hom-bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Formal deformations of Hom-bialgebras 93
5.1 Formal deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Formal automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 Equivalent and trivial deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Deformations equation and infinitesimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.5 Obstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.6 Unital and Counital Hom-bialgebra Deformations . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7 Twistings and Deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Côte titre : DM/0126 En ligne : https://drive.google.com/file/d/11_huH2vDlN8GurND48DEmip4z1oIFvyC/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Cohomologie et déformations des Hom-bialgèbres et algèbres Hom-Hopf [texte imprimé] / Khadra Dekkar, Auteur ; Abdenacer Makhlouf, Directeur de thèse . - [S.l.] : Setif:UFA, [s.d.] . - 1 vol (116 f.) ; 29 cm.
Langues : Français (fre)
Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Algèbre Hom-associative,
Hom-coalgèbre,
Hom-bialgèbre,
Algèbre Hom-Hopf,
Bimodule,
Bicomodule,
Cohomologie de Hochschild et déformation.Index. décimale : 510 Mathématique Résumé :
Résumé :
Le travail porte sur la cohomologie et les déformations des Hom-bialgèbres et algèbres Hom-Hopf qui
sont des versions modifiées par un morphisme des structures classiques de bialgèbre et algèbre de Hopf liées
aux groupes quantiques. Les algèbres de type-hom sont apparues dans les déformations quantiques des
algèbres de Witt et Virasoro, comme une généralisation des algèbres de Lie. Premièrement on rappelle la
théorie des algèbres de type-Hom et les propriétés établies, puis on introduit les A-bimodules et Cbicomodules nécessaire pour la définition de la cohomologie, puis leur dualité. Enfin on établit une théorie
des déformations formelles pour les Hom-bialgèbres généralisant la théorie de déformation de Gerstenhaber.Note de contenu :
Table of Contents
Introduction 5
1 Bialgebras and Hopf algebras 11
1.1 Algebras and coalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Bialgebras and Hopf algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Classification in low dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 Classifications in Dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Classifications in Dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Hom-bialgebras and Hom-Hopf algebras 25
2.1 Unital Hom-associative algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Counital Hom-coassociative coalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Duality between Hom-associative algebras and Hom-coassociative coalgebras 35
2.4 Hom-Hopf algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Hom-bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Hom-Hopf algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.3 Antipode’s properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Modules and comodules of Hom-Hopf algebras 58
3.1 Modules over Hom-associative algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Comodules over Hom-coassociative coalgebras. . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Duality between modules and comodules of Hom-Hopf algebras . . . . . . . 71
3.4 Tensor product of bimodules and bicomodules . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 Gerstenhaber-Schack Cohomology for Hom-bialgebras 80
4.1 Hochschild Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Hochschild Cohomology for Hom-bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Formal deformations of Hom-bialgebras 93
5.1 Formal deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Formal automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 Equivalent and trivial deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Deformations equation and infinitesimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.5 Obstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.6 Unital and Counital Hom-bialgebra Deformations . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7 Twistings and Deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Côte titre : DM/0126 En ligne : https://drive.google.com/file/d/11_huH2vDlN8GurND48DEmip4z1oIFvyC/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Exemplaires (1)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité DM/0126 DM/0126 Thèse Bibliothéque des sciences Français Disponible
Disponible
Titre : Les indices des algèbres de lie et algèbres Hom-Lie Type de document : document électronique Auteurs : Adimi,hadjer, Auteur ; Abdenacer Makhlouf, Directeur de thèse Editeur : Setif:UFA Importance : 1 vol (95 f.) Format : 29 cm Catégories : Mathématique Mots-clés : Indices
Algèbres de Lie
Algèbres Hom-LieIndex. décimale : 510 Mathématique Résumé :
Résumé
L’objet de cette thèse est l’étude de l’indice pour les algèbres de Lie et leur généralisation, les
algèbres Hom-Lie. On étudie la classe opposée aux algèbres semi-simples qui est la classe des
algèbres de Lie nilpotentes, on s’intéresse spécialement aux algèbres de Lie filiformes et
quasi-filiformes. Dans la deuxième partie du travail, on établit la théorie de l’indice dans le
cas des algèbres Hom-Lie. On étudie l’indice des algèbres Hom-Lie multiplicatives simples
ainsi que l’indice du produit semi-direct d’algèbres Hom-Lie. Par ailleurs, on suit par
déformation et par twist de Yau l’évolution de l’indice. De nombreux exemple sont aussi
proposés.Note de contenu :
Table of Contents
Introduction 5
RÈsumÈ de la thËse 9
1 Introduction to Lie algebras theory 19
1.1 DeÖnitions and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1 Basic deÖnitions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2 Graded Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.3 Derivations, the adjoint map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.4 The isomorphism theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.5 Normalizers and Centralizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.6 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.7 Extensions, semidirect products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.1.8 The universal enveloping algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2 Nilpotent and Solvable Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Simple and semisimple Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.1 Parabolic Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Lie algebras Index 33
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Index of Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Representation Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Some useful inequalities about the index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Index of Graded Filiform and Quasi Filiform Lie Algebras 42
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Nilpotent and Filiform Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Index of Graded Öliform Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Index of Filiform Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Index of Filiform Lie algebras of dimension 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1 Filiform Lie algebras of dimension less than 6 . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.2 Filiform Lie algebras of dimension 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.3 Filiform Lie algebras of dimension 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Index of Graded quasi-Öliform Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5.1 Naturally graded Quasi-Öliform Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Index of Lie algebras whose nilradical is Ln or Q2n . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6.1 Index of Lie algebras nn;1 whose nilradical is Ln . . . . . . . . . . . 61
3.6.2 Lie algebras whose nilradical is Q2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Index of Hom-Lie Algebras and semidirect products 66
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Preliminary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.1 Hom-Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Representations of Hom-Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Index of Hom-Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.1 For a coadjoint representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.2 For an arbitrary representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.3 Index of twisted Hom-Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Index of Multiplicative Simple Hom-Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6 Index of semidirect products of Hom-Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6.1 The coadjoint representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6.2 The stabilizer of an arbitrary point of q . . . . . . . . . . . . . . 83
Conclusion 85Côte titre : DM/0121 En ligne : http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/1590/1/th%c3%a8se-adi [...] Les indices des algèbres de lie et algèbres Hom-Lie [document électronique] / Adimi,hadjer, Auteur ; Abdenacer Makhlouf, Directeur de thèse . - [S.l.] : Setif:UFA, [s.d.] . - 1 vol (95 f.) ; 29 cm.
Catégories : Mathématique Mots-clés : Indices
Algèbres de Lie
Algèbres Hom-LieIndex. décimale : 510 Mathématique Résumé :
Résumé
L’objet de cette thèse est l’étude de l’indice pour les algèbres de Lie et leur généralisation, les
algèbres Hom-Lie. On étudie la classe opposée aux algèbres semi-simples qui est la classe des
algèbres de Lie nilpotentes, on s’intéresse spécialement aux algèbres de Lie filiformes et
quasi-filiformes. Dans la deuxième partie du travail, on établit la théorie de l’indice dans le
cas des algèbres Hom-Lie. On étudie l’indice des algèbres Hom-Lie multiplicatives simples
ainsi que l’indice du produit semi-direct d’algèbres Hom-Lie. Par ailleurs, on suit par
déformation et par twist de Yau l’évolution de l’indice. De nombreux exemple sont aussi
proposés.Note de contenu :
Table of Contents
Introduction 5
RÈsumÈ de la thËse 9
1 Introduction to Lie algebras theory 19
1.1 DeÖnitions and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1 Basic deÖnitions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2 Graded Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.3 Derivations, the adjoint map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.4 The isomorphism theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.5 Normalizers and Centralizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.6 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.7 Extensions, semidirect products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.1.8 The universal enveloping algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2 Nilpotent and Solvable Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Simple and semisimple Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.1 Parabolic Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Lie algebras Index 33
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Index of Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Representation Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Some useful inequalities about the index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Index of Graded Filiform and Quasi Filiform Lie Algebras 42
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Nilpotent and Filiform Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Index of Graded Öliform Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Index of Filiform Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Index of Filiform Lie algebras of dimension 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1 Filiform Lie algebras of dimension less than 6 . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.2 Filiform Lie algebras of dimension 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.3 Filiform Lie algebras of dimension 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Index of Graded quasi-Öliform Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5.1 Naturally graded Quasi-Öliform Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Index of Lie algebras whose nilradical is Ln or Q2n . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6.1 Index of Lie algebras nn;1 whose nilradical is Ln . . . . . . . . . . . 61
3.6.2 Lie algebras whose nilradical is Q2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Index of Hom-Lie Algebras and semidirect products 66
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Preliminary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.1 Hom-Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Representations of Hom-Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Index of Hom-Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.1 For a coadjoint representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.2 For an arbitrary representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.3 Index of twisted Hom-Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Index of Multiplicative Simple Hom-Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6 Index of semidirect products of Hom-Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6.1 The coadjoint representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6.2 The stabilizer of an arbitrary point of q . . . . . . . . . . . . . . 83
Conclusion 85Côte titre : DM/0121 En ligne : http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/1590/1/th%c3%a8se-adi [...] Exemplaires (1)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité DM/0121 DM/0121 Thèse Bibliothéque des sciences Français Disponible
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