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Auteur Alain Chenciner |
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Titre : Courbes algébriques planes Type de document : texte imprimé Auteurs : Alain Chenciner Editeur : Berlin : Springer Année de publication : 2008 Importance : 1 vol. (160 p.) Format : 23 cm ISBN/ISSN/EAN : 978-3-540-33707-2 Note générale : Index p.159-160 Catégories : Mathématique Mots-clés : Courbes algébriques
Courbes planes
Géométrie planeIndex. décimale : 516.152 Configurations géométriques unidimensionnelles (angles, cercles, coniques, courbes, lignes, spirales) Résumé : Issu d'un cours de maîtrise de l'Université Paris VII, ce texte est réédité tel qu'il était paru en 1978. A propos du théorème de Bézout sont introduits divers outils nécessaires au développement de la notion de multiplicité d'intersection de deux courbes algébriques dans le plan projectif complexe. Partant des notions élémentaires sur les sous-ensembles algébriques affines et projectifs, on définit les multiplicités d'intersection et interprète leur somme entermes du résultant de deux polynômes. L'étude locale est prétexte à l'introduction des anneaux de série formelles ou convergentes; elle culmine dans le théorème de Puiseux dont la convergence est ramenée par des éclatements à celle du théorème des fonctions implicites. Diverses figures éclairent le texte: on y "voit" en particulier que l'équation homogène x3+y3+z3 = 0 définit un tore dans le plan projectif complexe. Note de contenu :
Table des matières
Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0 Courbes algébriques planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Ensembles algébriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Polynômes à plusieurs indéterminées :premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Ensembles algébriques affines :le théorème des zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Composantes irréductibles d’un ensemble algébrique affine . . . . . . 18
1.4 Idéaux ayant un nombre fini de zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Morphismes d’ensembles algébriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Ensembles algébriques affines irréductibles :fonctions rationnelles et anneaux locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Courbes planes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Sous-ensembles algébriques de K2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Propriétés invariantes par changement de coordonnées affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Points réguliers, points singuliers, multiplicités . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Nombres d’intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Ensembles algébriques projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 L’espace projectif Pn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Topologie des espaces projectifs réels et complexes de petite dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
3.3 Ensembles algébriques projectifs et idéaux homogènes . . . . . . . . . . 47
3.4 Traduction affine ↔ projectif :homogénéisation et déhomogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Courbes projectives planes : le théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Le théorème de Bézout (1ère démonstration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Le résultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Théorie élémentaire du résultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Résultant et nombres d’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Résultant et théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Point de vue local : anneaux de séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1 Séries formelles à une indéterminée : premières propriétés . . . . . . . 73
6.2 Séries formelles à plusieurs indéterminées : premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3 Le théorème de préparation de Weierstrass pour les séries formelles . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4 Passage des fractions rationnelles aux séries formelles : séparé complété d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
7 Anneaux de séries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.1 Séries entières convergentes a une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Séries entières convergentes à plusieurs indéterminées . . . . . . . . . . 97
7.3 La méthode des séries majorantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4 Le théorème des fonctions implicites et le théorème de préparation pour les séries convergentesà plusieurs indéterminées . . . . . . . .104
7.5 Thème d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.6 Envolée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.7 Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8 Le théorème de Puiseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.1 Paramétrages et polygone de Newton (cas formel) . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 Formulation du théorème de Puiseux comme un théorème de clôture algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.3 Application à l’étude des éléments irréductibles deK((X))[Y], K[[X]][Y], K[[X, Y]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4 Décomposition d’un polynôme distingué P ∈ K[[X]][Y] suivant les côtés de son polygone de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.5 Détection locale des facteurs multiples d’un élément de K[X, Y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.6 Résolution des problèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.7 Interprétation topologique du théorème de Puiseux dans le cadre de la théorie des fonctions analytiques complexes . . . . . . . 128
9 Théorie locale des intersections de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.1 Branches = places (où on fait le point sur ce qui a précédé) . . . . . . . 133
9.2 Intersection d’une branche et d’une droite passant par l’origine . . . 136
9.3 Intersection de deux courbes formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Appendice Un critère de rationalité pour les séries formelles à coefficients dans un corps (d’après Bourbaki) . . . .. . . . . . . . . 143
Liste d’exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Problème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Problème 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Côte titre : Fs/6734-6739 Courbes algébriques planes [texte imprimé] / Alain Chenciner . - Berlin : Springer, 2008 . - 1 vol. (160 p.) ; 23 cm.
ISBN : 978-3-540-33707-2
Index p.159-160
Catégories : Mathématique Mots-clés : Courbes algébriques
Courbes planes
Géométrie planeIndex. décimale : 516.152 Configurations géométriques unidimensionnelles (angles, cercles, coniques, courbes, lignes, spirales) Résumé : Issu d'un cours de maîtrise de l'Université Paris VII, ce texte est réédité tel qu'il était paru en 1978. A propos du théorème de Bézout sont introduits divers outils nécessaires au développement de la notion de multiplicité d'intersection de deux courbes algébriques dans le plan projectif complexe. Partant des notions élémentaires sur les sous-ensembles algébriques affines et projectifs, on définit les multiplicités d'intersection et interprète leur somme entermes du résultant de deux polynômes. L'étude locale est prétexte à l'introduction des anneaux de série formelles ou convergentes; elle culmine dans le théorème de Puiseux dont la convergence est ramenée par des éclatements à celle du théorème des fonctions implicites. Diverses figures éclairent le texte: on y "voit" en particulier que l'équation homogène x3+y3+z3 = 0 définit un tore dans le plan projectif complexe. Note de contenu :
Table des matières
Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0 Courbes algébriques planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Ensembles algébriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Polynômes à plusieurs indéterminées :premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Ensembles algébriques affines :le théorème des zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Composantes irréductibles d’un ensemble algébrique affine . . . . . . 18
1.4 Idéaux ayant un nombre fini de zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Morphismes d’ensembles algébriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Ensembles algébriques affines irréductibles :fonctions rationnelles et anneaux locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Courbes planes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Sous-ensembles algébriques de K2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Propriétés invariantes par changement de coordonnées affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Points réguliers, points singuliers, multiplicités . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Nombres d’intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Ensembles algébriques projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 L’espace projectif Pn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Topologie des espaces projectifs réels et complexes de petite dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
3.3 Ensembles algébriques projectifs et idéaux homogènes . . . . . . . . . . 47
3.4 Traduction affine ↔ projectif :homogénéisation et déhomogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Courbes projectives planes : le théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Le théorème de Bézout (1ère démonstration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Le résultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Théorie élémentaire du résultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Résultant et nombres d’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Résultant et théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Point de vue local : anneaux de séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1 Séries formelles à une indéterminée : premières propriétés . . . . . . . 73
6.2 Séries formelles à plusieurs indéterminées : premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3 Le théorème de préparation de Weierstrass pour les séries formelles . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4 Passage des fractions rationnelles aux séries formelles : séparé complété d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
7 Anneaux de séries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.1 Séries entières convergentes a une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Séries entières convergentes à plusieurs indéterminées . . . . . . . . . . 97
7.3 La méthode des séries majorantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4 Le théorème des fonctions implicites et le théorème de préparation pour les séries convergentesà plusieurs indéterminées . . . . . . . .104
7.5 Thème d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.6 Envolée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.7 Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8 Le théorème de Puiseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.1 Paramétrages et polygone de Newton (cas formel) . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 Formulation du théorème de Puiseux comme un théorème de clôture algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.3 Application à l’étude des éléments irréductibles deK((X))[Y], K[[X]][Y], K[[X, Y]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4 Décomposition d’un polynôme distingué P ∈ K[[X]][Y] suivant les côtés de son polygone de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.5 Détection locale des facteurs multiples d’un élément de K[X, Y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.6 Résolution des problèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.7 Interprétation topologique du théorème de Puiseux dans le cadre de la théorie des fonctions analytiques complexes . . . . . . . 128
9 Théorie locale des intersections de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.1 Branches = places (où on fait le point sur ce qui a précédé) . . . . . . . 133
9.2 Intersection d’une branche et d’une droite passant par l’origine . . . 136
9.3 Intersection de deux courbes formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Appendice Un critère de rationalité pour les séries formelles à coefficients dans un corps (d’après Bourbaki) . . . .. . . . . . . . . 143
Liste d’exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Problème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Problème 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Côte titre : Fs/6734-6739 Exemplaires (6)
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DisponibleFs/6736 Fs/6734-6739 livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
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DisponibleFs/6739 Fs/6734-6739 livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
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