Finite Volume Scheme For A Transmission Elliptic Problem With The Fictitious Domain Method Principle / Amani Ouchene

Public ISBD Titre : Finite Volume Scheme For A Transmission Elliptic Problem With The Fictitious Domain Method Principle Type de document : document électronique Auteurs : Amani Ouchene, Auteur ; Mohamad Kara, Directeur de thèse Editeur : Sétif:UFS Année de publication : 2025 Importance : 1 vol (54 f.) Format : 29 cm Langues : Anglais (eng) Mots-clés : Elliptic Transmission Problems Discontinuous Coefficients Fictitious Domain Method Finite Volume Method Résumé : Summary Finite volume scheme for a transmission elliptic problem with the fictitious domain method princple This thesis addresses elliptic transmission problems occurring in domains composed of different materials, which lead to discontinuous coefficients in the partial differential equations. To handle complex geometries and interface conditions, the fictitious domain method is employed, allowing the use of a regular mesh regardless of domain irregularities. The finite volume method is used to enforce local conservation of fluxes. The work includes a rigorous mathematical analysis based on Sobolev spaces, a variational formulation, and the implementation of a stable and accurate numerical scheme. Numerical tests demonstrate the convergence, accuracy, and stability of the method. Note de contenu : Contents INTRODUCTION 2 Notations 5 1 Sobolev Spaces Hm(Ω) 6 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Some Fundamental Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Reminder on Vector Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Integration by Parts Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Finite Volume scheme for Elliptical Problems 13 2.1 Problem setting and formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 The weak form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Finite volume scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1 Description of the Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Problem equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.1 Flux Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 Computation of the flux at δi faces: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.3 Computation of the Flux at the Boundary Σh . . . . . . . . . . . . 30 2.4.4 Structure of each matrix row . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Final Result in Block Matrix Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Numerical tests 38 3.1 Numerical tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1 First test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.2 Second test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Order of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1 First test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2 Second test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Appendices 43 3.2.3 Appendix of the first test : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.4 Appendix of the second test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 General conclusion 52 Bibliography 54 Côte titre : MAM/0801 Finite Volume Scheme For A Transmission Elliptic Problem With The Fictitious Domain Method Principle [document électronique] / Amani Ouchene, Auteur ; Mohamad Kara, Directeur de thèse . - [S.l.] : Sétif:UFS, 2025 . - 1 vol (54 f.) ; 29 cm. Langues : Anglais (eng) Mots-clés : Elliptic Transmission Problems Discontinuous Coefficients Fictitious Domain Method Finite Volume Method Résumé : Summary Finite volume scheme for a transmission elliptic problem with the fictitious domain method princple This thesis addresses elliptic transmission problems occurring in domains composed of different materials, which lead to discontinuous coefficients in the partial differential equations. To handle complex geometries and interface conditions, the fictitious domain method is employed, allowing the use of a regular mesh regardless of domain irregularities. The finite volume method is used to enforce local conservation of fluxes. The work includes a rigorous mathematical analysis based on Sobolev spaces, a variational formulation, and the implementation of a stable and accurate numerical scheme. Numerical tests demonstrate the convergence, accuracy, and stability of the method. Note de contenu : Contents INTRODUCTION 2 Notations 5 1 Sobolev Spaces Hm(Ω) 6 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Some Fundamental Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Reminder on Vector Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Integration by Parts Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Finite Volume scheme for Elliptical Problems 13 2.1 Problem setting and formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 The weak form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Finite volume scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1 Description of the Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Problem equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.1 Flux Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 Computation of the flux at δi faces: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.3 Computation of the Flux at the Boundary Σh . . . . . . . . . . . . 30 2.4.4 Structure of each matrix row . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Final Result in Block Matrix Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Numerical tests 38 3.1 Numerical tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1 First test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.2 Second test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Order of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1 First test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2 Second test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Appendices 43 3.2.3 Appendix of the first test : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.4 Appendix of the second test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 General conclusion 52 Bibliography 54 Côte titre : MAM/0801

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Finite Volume Scheme For A Transmission Elliptic Problem With The Fictitious Domain Method Principle / Amani Ouchene

Public ISBD Titre : Finite Volume Scheme For A Transmission Elliptic Problem With The Fictitious Domain Method Principle Type de document : document électronique Auteurs : Amani Ouchene, Auteur ; Mohamad Kara, Directeur de thèse Editeur : Sétif:UFS Année de publication : 2025 Importance : 1 vol (54 f.) Format : 29 cm Langues : Anglais (eng) Mots-clés : Elliptic Transmission Problems Discontinuous Coefficients Fictitious Domain Method Finite Volume Method Résumé : Summary Finite volume scheme for a transmission elliptic problem with the fictitious domain method princple This thesis addresses elliptic transmission problems occurring in domains composed of different materials, which lead to discontinuous coefficients in the partial differential equations. To handle complex geometries and interface conditions, the fictitious domain method is employed, allowing the use of a regular mesh regardless of domain irregularities. The finite volume method is used to enforce local conservation of fluxes. The work includes a rigorous mathematical analysis based on Sobolev spaces, a variational formulation, and the implementation of a stable and accurate numerical scheme. Numerical tests demonstrate the convergence, accuracy, and stability of the method. Note de contenu : Contents INTRODUCTION 2 Notations 5 1 Sobolev Spaces Hm(Ω) 6 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Some Fundamental Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Reminder on Vector Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Integration by Parts Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Finite Volume scheme for Elliptical Problems 13 2.1 Problem setting and formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 The weak form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Finite volume scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1 Description of the Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Problem equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.1 Flux Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 Computation of the flux at δi faces: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.3 Computation of the Flux at the Boundary Σh . . . . . . . . . . . . 30 2.4.4 Structure of each matrix row . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Final Result in Block Matrix Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Numerical tests 38 3.1 Numerical tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1 First test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.2 Second test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Order of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1 First test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2 Second test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Appendices 43 3.2.3 Appendix of the first test : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.4 Appendix of the second test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 General conclusion 52 Bibliography 54 Côte titre : MAM/0801 Finite Volume Scheme For A Transmission Elliptic Problem With The Fictitious Domain Method Principle [document électronique] / Amani Ouchene, Auteur ; Mohamad Kara, Directeur de thèse . - [S.l.] : Sétif:UFS, 2025 . - 1 vol (54 f.) ; 29 cm. 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Note de contenu : Contents INTRODUCTION 2 Notations 5 1 Sobolev Spaces Hm(Ω) 6 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Some Fundamental Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Reminder on Vector Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Integration by Parts Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Finite Volume scheme for Elliptical Problems 13 2.1 Problem setting and formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 The weak form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Finite volume scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1 Description of the Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Problem equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.1 Flux Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 Computation of the flux at δi faces: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.3 Computation of the Flux at the Boundary Σh . . . . . . . . . . . . 30 2.4.4 Structure of each matrix row . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Final Result in Block Matrix Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Numerical tests 38 3.1 Numerical tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1 First test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.2 Second test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Order of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1 First test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2 Second test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Appendices 43 3.2.3 Appendix of the first test : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.4 Appendix of the second test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 General conclusion 52 Bibliography 54 Côte titre : MAM/0801

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