University Sétif 1 FERHAT ABBAS Faculty of Sciences
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Auteur Fatima Medjdoubi |
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Titre : Lotka-Volterra Model With Limit Cycles Type de document : document électronique Auteurs : Fatima Medjdoubi, Auteur ; Sabah Benadouane, Directeur de thèse Editeur : Sétif:UFS Année de publication : 2025 Importance : 1 vol (38 f.) Format : 29 cm Langues : Anglais (eng) Mots-clés : Lotka-Volterra
Piecewise Differential Systems
Limit Cycles
First IntegralRésumé : Abstract
The objective of this thesis is the qualitative study of some classes of
nonlinear piecewise differential systems, with particular focus on the
Lotka-Volterra model. The results obtained in this study concern the
integrability, the phase portrait, and the existence of a limit cycle for this
model. Finally, an application example is presented to illustrate the
theoretical results.Note de contenu : CONTENTS
General Introduction ii
List of Figures vi
1 Preliminary on differential systems 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Differential equations and differential systems . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 Polynomial differential systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Solution of differential system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Phase portrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Equilibrium points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 Classification of equilibrium points . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.2 Stability of equilibrium points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 The Hartman Grobman theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Piecewise differential system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Existence and non existence of limit cycles 11
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Invariant curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Algebraic and non algebraic invariant curve . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Integrability of polynomial differential systems . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 First integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Integrating factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3 Inverse integrating factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Periodic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Limit cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Criterion of the existence of periodic solutions and limit cycles . . . . . . 16
2.6.1 Criterion 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.2 Criterion 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Criterion of the non-existence of Limit cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Limit cycles in the Lotka-Volterra model 23
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Limit cycles in piecewise Lotka-Volterra systems . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Class one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Class two . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Bibliography 38Côte titre : MAM/0804 Lotka-Volterra Model With Limit Cycles [document électronique] / Fatima Medjdoubi, Auteur ; Sabah Benadouane, Directeur de thèse . - [S.l.] : Sétif:UFS, 2025 . - 1 vol (38 f.) ; 29 cm.
Langues : Anglais (eng)
Mots-clés : Lotka-Volterra
Piecewise Differential Systems
Limit Cycles
First IntegralRésumé : Abstract
The objective of this thesis is the qualitative study of some classes of
nonlinear piecewise differential systems, with particular focus on the
Lotka-Volterra model. The results obtained in this study concern the
integrability, the phase portrait, and the existence of a limit cycle for this
model. Finally, an application example is presented to illustrate the
theoretical results.Note de contenu : CONTENTS
General Introduction ii
List of Figures vi
1 Preliminary on differential systems 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Differential equations and differential systems . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 Polynomial differential systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Solution of differential system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Phase portrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Equilibrium points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 Classification of equilibrium points . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.2 Stability of equilibrium points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 The Hartman Grobman theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Piecewise differential system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Existence and non existence of limit cycles 11
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Invariant curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Algebraic and non algebraic invariant curve . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Integrability of polynomial differential systems . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 First integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Integrating factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3 Inverse integrating factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Periodic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Limit cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Criterion of the existence of periodic solutions and limit cycles . . . . . . 16
2.6.1 Criterion 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.2 Criterion 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Criterion of the non-existence of Limit cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Limit cycles in the Lotka-Volterra model 23
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Limit cycles in piecewise Lotka-Volterra systems . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Class one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Class two . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Bibliography 38Côte titre : MAM/0804 Exemplaires (1)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité MAM/0804 MAM/0804 Mémoire Bibliothèque des sciences Anglais Disponible
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