Enhanced Hyperbolic Tangent (Tanh) Method for Solving Nonlinear Wave Equation Systems / Khoula Bouchair

Public ISBD Titre : Enhanced Hyperbolic Tangent (Tanh) Method for Solving Nonlinear Wave Equation Systems Type de document : document électronique Auteurs : Khoula Bouchair, Auteur ; Riadh Hedli, Directeur de thèse Editeur : Sétif:UFS Année de publication : 2025 Importance : 1 vol (56 f.) Format : 29 cm Langues : Anglais (eng) Mots-clés : Traveling wave solutions Extended tanh method Burgers equation Korteweg–de Vries (KdV) equation Hirota–Satsuma system Kink wave Periodic solutions Soliton solution Résumé : Abstract This work investigates the use of the enhanced hyperbolic tangent (tanh) method combined with symbolic computation via Maple to solve nonlinear wave equation systems. The study focuses on exact traveling wave solutions for equations including the Burgers equation, classical and coupled Korteweg–de Vries (KdV) equations, and the coupled Hirota–Satsuma system. By applying the extended tanh method, nonlinear partial differential equations are transformed into algebraic systems that can be solved to obtain various exact solutions such as solitons, kinks, solitary waves, and periodic solutions. Maple 17 is utilized to handle the intensive symbolic computations involved. The results demonstrate the effectiveness and wide applicability of the enhanced tanh method in analyzing nonlinear wave phenomena and solving complex nonlinear PDEs in mathematical physics. Note de contenu : Contents List of Figures i List of Abbreviations iii General Introduction 1 1 Some Fundamental Concepts and Properties 3 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Definition of a ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Definition of a PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Order of a PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Classification of PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.1 Linear Partial Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.2 Quasi-linear partial differential equation . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.3 Nonlinear partial differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Some Linear Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Some Nonlinear Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 Homogeneous and Inhomogeneous PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8.1 Homogeneous partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . 10 1.8.2 Inhomogeneous Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . 10 1.9 Solution of a PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.10 Traveling Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.11 Types of Traveling Wave Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.11.1 Solitary Waves and Solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.11.2 Periodic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.11.3 Kinks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.11.4 Peakons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.11.5 Cuspons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.11.6 Compacton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.12 The Korteweg–de Vries (KdV) Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.12.1 The history of the KdV equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.12.2 The family of the KdV equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.13 The Burgers equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.13.1 The history of the Burgers equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.13.2 The Burgers equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.14 The Hirota-Satsuma Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.14.1 The history of the Hirota-Satsuma Equations . . . . . . . . . . . . 21 1.14.2 The Hirota-Satsuma Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Extended Tanh method 23 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Basic idea of the method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 The KdV equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 The Burgers equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Applications of the extended tanh method 36 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 System of KdV Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 The coupled Hirota-Satsuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 General Conclusion 56 Côte titre : MAM/0806 Enhanced Hyperbolic Tangent (Tanh) Method for Solving Nonlinear Wave Equation Systems [document électronique] / Khoula Bouchair, Auteur ; Riadh Hedli, Directeur de thèse . - [S.l.] : Sétif:UFS, 2025 . - 1 vol (56 f.) ; 29 cm. Langues : Anglais (eng) Mots-clés : Traveling wave solutions Extended tanh method Burgers equation Korteweg–de Vries (KdV) equation Hirota–Satsuma system Kink wave Periodic solutions Soliton solution Résumé : Abstract This work investigates the use of the enhanced hyperbolic tangent (tanh) method combined with symbolic computation via Maple to solve nonlinear wave equation systems. The study focuses on exact traveling wave solutions for equations including the Burgers equation, classical and coupled Korteweg–de Vries (KdV) equations, and the coupled Hirota–Satsuma system. By applying the extended tanh method, nonlinear partial differential equations are transformed into algebraic systems that can be solved to obtain various exact solutions such as solitons, kinks, solitary waves, and periodic solutions. Maple 17 is utilized to handle the intensive symbolic computations involved. The results demonstrate the effectiveness and wide applicability of the enhanced tanh method in analyzing nonlinear wave phenomena and solving complex nonlinear PDEs in mathematical physics. Note de contenu : Contents List of Figures i List of Abbreviations iii General Introduction 1 1 Some Fundamental Concepts and Properties 3 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Definition of a ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Definition of a PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Order of a PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Classification of PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.1 Linear Partial Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.2 Quasi-linear partial differential equation . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.3 Nonlinear partial differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Some Linear Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Some Nonlinear Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 Homogeneous and Inhomogeneous PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8.1 Homogeneous partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . 10 1.8.2 Inhomogeneous Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . 10 1.9 Solution of a PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.10 Traveling Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.11 Types of Traveling Wave Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.11.1 Solitary Waves and Solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.11.2 Periodic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.11.3 Kinks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.11.4 Peakons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.11.5 Cuspons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.11.6 Compacton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.12 The Korteweg–de Vries (KdV) Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.12.1 The history of the KdV equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.12.2 The family of the KdV equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.13 The Burgers equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.13.1 The history of the Burgers equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.13.2 The Burgers equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.14 The Hirota-Satsuma Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.14.1 The history of the Hirota-Satsuma Equations . . . . . . . . . . . . 21 1.14.2 The Hirota-Satsuma Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Extended Tanh method 23 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Basic idea of the method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 The KdV equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 The Burgers equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Applications of the extended tanh method 36 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 System of KdV Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 The coupled Hirota-Satsuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 General Conclusion 56 Côte titre : MAM/0806

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MAM/0806	MAM/0806	Mémoire	Bibliothèque des sciences	Anglais	Disponible Disponible

Periodic Pattern Formation Reaction-Diffusion System / Khoula Bouchair

Public ISBD Titre : Periodic Pattern Formation Reaction-Diffusion System Type de document : document électronique Auteurs : Khoula Bouchair, Auteur ; Saffidine,Imane Khaoula, Directeur de thèse Editeur : Sétif:UFS Année de publication : 2025 Importance : 1 vol (39 f.) Format : 29 cm Langues : Anglais (eng) Mots-clés : Brusselator Periodic Patterns Reaction Diffusion Implicit Alternation Method Travelling Waves Résumé : Abstract: This work is part of an interdisciplinary theme that aims to study the mathematical modelling of the formation of periodic patterns through Brusselator model to simulate reaction and diffusion using finite difference method and alternating implicit direction The importance of this study lies in the scientific explanation of natural phenomena such as leopard skin spots, showing how simplicity emerges from complexity. Note de contenu : Table of Contents Introduction v 1 Notion and Basic concepts 1 1.1 Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Definition of Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Ordinary Differential Equations (ODEs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Stochastic Differential Equations (SDEs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Partial Differential Equations (PDEs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5.1 Classification of PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5.2 Numerical Methods for Solving PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5.3 Alternating Direction Implicit (ADI) Method . . . . . . . . . . . . . 9 2 Mathematical Modeling 10 2.1 Mathematical Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 What is Mathematical Modelling? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 What Objectives Can Modelling Achieve? . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.3 Classifications of Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.4 Stages of Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Reaction-Diffusion System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1 Reaction and Diffusion in the System . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.2 Reaction-Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.3 Reaction and Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Some Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1 Reaction-Diffusion Models in Chemical Physics . . . . . . . . . . . . 14 2.3.2 Reaction-Diffusion Models in Biomedical Systems . . . . . . . . . . . 16 2.3.3 Reaction-Diffusion Models in Physiology . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.4 Numerically . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.5 Reaction-diffusion in Biology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Pattern Formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.1 In mathematics: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.2 In biology: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.3 In bio mathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.4 Alan Turing’s Brilliant Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.5 Definition and General Characteristics of Effectors . . . . . . . . . . 24 2.4.6 Some models of Pattern formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.7 Numerically: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 The Brusselator Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.1 In biology: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.2 Numerically: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Periodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.1 In mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.2 In biology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.3 Numerically: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Implementation and excremental result 29 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Travelling Periodic Waves: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 The Continuity and Continuation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.5 The existence of the equilibrium point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6 Results and Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6.1 Existence of PTW Solutions in the One Dimensional Space through PDE Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6.2 Periodic Pattern Formation in the Two Dimensional Spaces through PDE Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.6.3 Result Enhancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Chapter Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Conclusion and Future Work 39 Côte titre : MAM/0805 Periodic Pattern Formation Reaction-Diffusion System [document électronique] / Khoula Bouchair, Auteur ; Saffidine,Imane Khaoula, Directeur de thèse . - [S.l.] : Sétif:UFS, 2025 . - 1 vol (39 f.) ; 29 cm. Langues : Anglais (eng) Mots-clés : Brusselator Periodic Patterns Reaction Diffusion Implicit Alternation Method Travelling Waves Résumé : Abstract: This work is part of an interdisciplinary theme that aims to study the mathematical modelling of the formation of periodic patterns through Brusselator model to simulate reaction and diffusion using finite difference method and alternating implicit direction The importance of this study lies in the scientific explanation of natural phenomena such as leopard skin spots, showing how simplicity emerges from complexity. Note de contenu : Table of Contents Introduction v 1 Notion and Basic concepts 1 1.1 Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Definition of Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Ordinary Differential Equations (ODEs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Stochastic Differential Equations (SDEs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Partial Differential Equations (PDEs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5.1 Classification of PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5.2 Numerical Methods for Solving PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5.3 Alternating Direction Implicit (ADI) Method . . . . . . . . . . . . . 9 2 Mathematical Modeling 10 2.1 Mathematical Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 What is Mathematical Modelling? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 What Objectives Can Modelling Achieve? . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.3 Classifications of Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.4 Stages of Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Reaction-Diffusion System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1 Reaction and Diffusion in the System . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.2 Reaction-Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.3 Reaction and Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Some Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1 Reaction-Diffusion Models in Chemical Physics . . . . . . . . . . . . 14 2.3.2 Reaction-Diffusion Models in Biomedical Systems . . . . . . . . . . . 16 2.3.3 Reaction-Diffusion Models in Physiology . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.4 Numerically . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.5 Reaction-diffusion in Biology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Pattern Formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.1 In mathematics: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.2 In biology: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.3 In bio mathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.4 Alan Turing’s Brilliant Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.5 Definition and General Characteristics of Effectors . . . . . . . . . . 24 2.4.6 Some models of Pattern formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.7 Numerically: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 The Brusselator Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.1 In biology: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.2 Numerically: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Periodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.1 In mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.2 In biology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.3 Numerically: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Implementation and excremental result 29 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Travelling Periodic Waves: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 The Continuity and Continuation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.5 The existence of the equilibrium point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6 Results and Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6.1 Existence of PTW Solutions in the One Dimensional Space through PDE Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6.2 Periodic Pattern Formation in the Two Dimensional Spaces through PDE Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.6.3 Result Enhancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Chapter Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Conclusion and Future Work 39 Côte titre : MAM/0805

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