Géométrie projective / Robert Rolland

Public ISBD Titre : Géométrie projective Type de document : texte imprimé Auteurs : Robert Rolland (1945-....), Auteur Editeur : Paris : Ellipses Année de publication : 2015 Collection : Références sciences Importance : 1 vol. (135 p.) Présentation : ill. Format : 24 cm ISBN/ISSN/EAN : 978-2-340-00505-1 Note générale : Bibliogr. et webliogr. p. 131. Index Langues : Français (fre) Catégories : Mathématique Mots-clés : Géométrie projective Coniques Index. décimale : 516.5 Géométrie projective (géométrie projective analytique) Résumé : Ce livre est une synthèse de divers cours de géométrie donnés à la faculté des sciences ainsi qu'à l'IREM d'Aix-Marseille, en licence et en master de mathématiques, pour la préparation aux concours d'enseignement ou pour la formation des professeurs, ou encore dans des options orientées vers l'informatique graphique. Il sera utile aux étudiants de ces sections, aux candidats aux concours d'enseignement, aux enseignants de mathématiques ainsi qu'à tout lecteur qui souhaite acquérir une culture générale en mathématiques. Un de ses objectifs est de créer un pont entre une vision classique de la géométrie issue du XIXe siècle, et les outils modernes à base d'espaces vectoriels, de formes bilinéaires, de dualité, de groupes. Les espaces projectifs y sont présentés à partir des espaces vectoriels, renvoyant à un chapitre ultérieur l'étude des structures d'incidence. Les théorèmes et propriétés géométriques classiques des figures et des transformations projectives sont traités, y compris les propriétés projectives des coniques et les problèmes de construction. Le cas des corps finis et des problèmes de dénombrement qui s'y rattachent, est aussi étudié. La géométrie projective a une dimension historique importante. Elle a joué un rôle dans diverses questions scientifiques comme l'optique géométrique, la perspective, plus récemment l'informatique graphique et la théorie de l'information. L'ouvrage en tient compte en donnant quelques références historiques et en développant quelques exemples d'applications, notamment en optique et en géométrie perspective pour le dessin. Note de contenu : Sommaire : P. 1. 1 Bases de la géométrie projective P. 1. 1.1 Introduction P. 3. 1.2 Espaces projectifs P. 3. 1.2.1 Construction vectorielle P. 4. 1.2.2 Carte affine P. 6. 1.2.3 Sous-espaces projectifs P. 7. 1.2.4 Les coordonnées homogènes P. 7. Système de coordonnées projectives P. 9. Coordonnées homogènes, coordonnées affines P. 10. Cas des équations polynomiales P. 11. 1.2.5 Repère projectif P. 12. 1.2.6 Dessins. Les diverses cartes P. 14. 1.2.7 Conclusion de cette première approche P. 15. 1.3 Applications projectives P. 15. 1.3.1 Construction des applications projectives à partir des applications linéaires P. 17. 1.3.2 Structure de groupe des homographies d'un espace projectif P. 19. 1.3.3 Expression à l'aide d'un repère projectif P. 19. Transformation d'un repère en un autre P. 20. Expression analytique d'une homographie P. 22. Les points invariants d'une homographie d'un espace projectif dans lui-même P. 23. 1.3.4 Trace sur une carte affine d'une transformation projective P. 23. Transformations homographiques et transformations affines P. 24. Liens entre les expressions analytiques affines et projectives P. 26. L'exemple des translations, transvections P. 27. 2 Fonctionnement de la géométrie projective P. 27. 2.1 Les théorèmes fondamentaux P. 27. 2.1.1 Le théorème de Desargues P. 29. 2.1.2 Le théorème de Pappus P. 30. 2.1.3 Opérations algébriques sur une droite projective P. 30. L'addition P. 31. La multiplication P. 33. 2.1.4 Transformation projective et colinéation P. 36. 2.2 Géométrie projective sur la droite projective P. 36. 2.2.1 Quotient des coordonnées projectives d'un point P. 38. 2.2.2 Le birapport de quatre points alignés P. 40. 2.2.3 Un exemple important : les perspectives P. 42. 2.2.4 Construction des images d'une homographie P. 43. 2.2.5 Les involutions de la droite projective P. 47. 2.2.6 Exemple concernant la division harmonique P. 48. 2.3 La dualité P. 48. 2.3.1 Espace projectif dual P. 51. 2.3.2 Exemples de situations duales P. 52. 2.4 Exemples d'espaces et de transformations P. 52. 2.4.1 Espaces d'hyperplans P. 53. 2.4.2 Espaces de cercles P. 54. 2.4.3 Espaces de coniques P. 55. 2.4.4 Un peu d'optique P. 57. 3 Les coniques en géométrie projective P. 57. 3.1 Les coniques projectives P. 57. 3.1.1 Avertissement sur les courbes algébriques P. 57. Les trois extensions indispensables P. 58. Transformations homographiques et similitudes P. 59. 3.1.2 La dualité revisitée P. 59. La mise en place des notions de base P. 61. Equation tangentielle P. 64. Pôles et polaires P. 65. Droites conjuguées P. 66. Suite du dictionnaire obtenu grâce à la transformation par polaires réciproques P. 66. Remarque : conjugaison et homographies P. 67. 3.2 La structure projective d'une conique P. 67. 3.2.1 Définition de la structure P. 70. 3.2.2 Birapport P. 70. 3.2.3 Théorème de Pascal et de Brianchon P. 73. 3.2.4 Constructions de points et de tangentes P. 73. Construction d'un point d'une conique donnée par 5 points P. 73. Construction d'une tangente à une conique donnée par 5 tangentes P. 73. Construction d'une tangente en un point choisi parmi 5 points définissant une conique P. 74. Construction du point de contact d'une tangente à une conique choisie parmi 5 tangentes définissant cette conique P. 75. 3.2.5 Conique à structure projective plongée dans le plan P. 75. Théorème de Frégier P. 77. Axe d'homographie P. 78. Application : recherche de l'image M' d'un point M par une homographie donnée par 3 couples de points homologues P. 78. Application : recherche des points fixes d'une homographie sur la droite P. 78. Application : recherche des intersections d'une conique donnée par 5 points avec une droite P. 78. Application : le problème de Castillon P. 79. Généralisation du théorème de Frégier P. 85. 4 Point de vue des groupes de transformations P. 85. 4.1 Produit semi-direct de groupes P. 86. 4.2 Groupes de la géométrie classique P. 86. 4.2.1 Groupe linéaire, groupe projectif P. 87. 4.2.2 Groupe affine P. 88. 4.2.3 Groupes SL(n, K), SA(n, K) et PSL(n, K) P. 88. 4.2.4 Groupes classiques et groupes projectifs P. 91. 5 Compléments et applications P. 91. 5.1 Autres corps de base, cas des corps finis P. 94. 5.2 L'aspect axiomatique P. 97. 5.3 Les applications à la perspective P. 97. 5.3.1 Généralités sur les représentations à base de projection P. 97. 5.3.2 Projection centrale, perspective P. 107. 6 Exercices P. 107. 6.1 Les énoncés P. 107. 6.1.1 Bases de la géométrie projective P. 108. 6.1.2 Le fonctionnement de la géométrie projective P. 110. 6.1.3 Les coniques en géométrie projective P. 113. 6.1.4 Point de vue des groupes de transformations P. 114. 6.1.5 Compléments et applications P. 116. 6.2 Les solutions P. 116. 6.2.1 Bases de la géométrie projective P. 120. 6.2.2 Le fonctionnement de la géométrie projective P. 121. 6.2.3 Les coniques en géométrie projective P. 126. 6.2.4 Point de vue des groupes de transformations P. 128. 6.2.5 Compléments et applications P. 131. Bibliographie P. 133. Index Côte titre : Fs/19656 Géométrie projective [texte imprimé] / Robert Rolland (1945-....), Auteur . - Paris : Ellipses, 2015 . - 1 vol. (135 p.) : ill. ; 24 cm. - (Références sciences) . ISBN : 978-2-340-00505-1 Bibliogr. et webliogr. p. 131. Index Langues : Français (fre) Catégories : Mathématique Mots-clés : Géométrie projective Coniques Index. décimale : 516.5 Géométrie projective (géométrie projective analytique) Résumé : Ce livre est une synthèse de divers cours de géométrie donnés à la faculté des sciences ainsi qu'à l'IREM d'Aix-Marseille, en licence et en master de mathématiques, pour la préparation aux concours d'enseignement ou pour la formation des professeurs, ou encore dans des options orientées vers l'informatique graphique. Il sera utile aux étudiants de ces sections, aux candidats aux concours d'enseignement, aux enseignants de mathématiques ainsi qu'à tout lecteur qui souhaite acquérir une culture générale en mathématiques. Un de ses objectifs est de créer un pont entre une vision classique de la géométrie issue du XIXe siècle, et les outils modernes à base d'espaces vectoriels, de formes bilinéaires, de dualité, de groupes. Les espaces projectifs y sont présentés à partir des espaces vectoriels, renvoyant à un chapitre ultérieur l'étude des structures d'incidence. Les théorèmes et propriétés géométriques classiques des figures et des transformations projectives sont traités, y compris les propriétés projectives des coniques et les problèmes de construction. Le cas des corps finis et des problèmes de dénombrement qui s'y rattachent, est aussi étudié. La géométrie projective a une dimension historique importante. Elle a joué un rôle dans diverses questions scientifiques comme l'optique géométrique, la perspective, plus récemment l'informatique graphique et la théorie de l'information. L'ouvrage en tient compte en donnant quelques références historiques et en développant quelques exemples d'applications, notamment en optique et en géométrie perspective pour le dessin. Note de contenu : Sommaire : P. 1. 1 Bases de la géométrie projective P. 1. 1.1 Introduction P. 3. 1.2 Espaces projectifs P. 3. 1.2.1 Construction vectorielle P. 4. 1.2.2 Carte affine P. 6. 1.2.3 Sous-espaces projectifs P. 7. 1.2.4 Les coordonnées homogènes P. 7. Système de coordonnées projectives P. 9. Coordonnées homogènes, coordonnées affines P. 10. Cas des équations polynomiales P. 11. 1.2.5 Repère projectif P. 12. 1.2.6 Dessins. Les diverses cartes P. 14. 1.2.7 Conclusion de cette première approche P. 15. 1.3 Applications projectives P. 15. 1.3.1 Construction des applications projectives à partir des applications linéaires P. 17. 1.3.2 Structure de groupe des homographies d'un espace projectif P. 19. 1.3.3 Expression à l'aide d'un repère projectif P. 19. Transformation d'un repère en un autre P. 20. Expression analytique d'une homographie P. 22. Les points invariants d'une homographie d'un espace projectif dans lui-même P. 23. 1.3.4 Trace sur une carte affine d'une transformation projective P. 23. Transformations homographiques et transformations affines P. 24. Liens entre les expressions analytiques affines et projectives P. 26. L'exemple des translations, transvections P. 27. 2 Fonctionnement de la géométrie projective P. 27. 2.1 Les théorèmes fondamentaux P. 27. 2.1.1 Le théorème de Desargues P. 29. 2.1.2 Le théorème de Pappus P. 30. 2.1.3 Opérations algébriques sur une droite projective P. 30. L'addition P. 31. La multiplication P. 33. 2.1.4 Transformation projective et colinéation P. 36. 2.2 Géométrie projective sur la droite projective P. 36. 2.2.1 Quotient des coordonnées projectives d'un point P. 38. 2.2.2 Le birapport de quatre points alignés P. 40. 2.2.3 Un exemple important : les perspectives P. 42. 2.2.4 Construction des images d'une homographie P. 43. 2.2.5 Les involutions de la droite projective P. 47. 2.2.6 Exemple concernant la division harmonique P. 48. 2.3 La dualité P. 48. 2.3.1 Espace projectif dual P. 51. 2.3.2 Exemples de situations duales P. 52. 2.4 Exemples d'espaces et de transformations P. 52. 2.4.1 Espaces d'hyperplans P. 53. 2.4.2 Espaces de cercles P. 54. 2.4.3 Espaces de coniques P. 55. 2.4.4 Un peu d'optique P. 57. 3 Les coniques en géométrie projective P. 57. 3.1 Les coniques projectives P. 57. 3.1.1 Avertissement sur les courbes algébriques P. 57. Les trois extensions indispensables P. 58. Transformations homographiques et similitudes P. 59. 3.1.2 La dualité revisitée P. 59. La mise en place des notions de base P. 61. Equation tangentielle P. 64. Pôles et polaires P. 65. Droites conjuguées P. 66. Suite du dictionnaire obtenu grâce à la transformation par polaires réciproques P. 66. Remarque : conjugaison et homographies P. 67. 3.2 La structure projective d'une conique P. 67. 3.2.1 Définition de la structure P. 70. 3.2.2 Birapport P. 70. 3.2.3 Théorème de Pascal et de Brianchon P. 73. 3.2.4 Constructions de points et de tangentes P. 73. Construction d'un point d'une conique donnée par 5 points P. 73. Construction d'une tangente à une conique donnée par 5 tangentes P. 73. Construction d'une tangente en un point choisi parmi 5 points définissant une conique P. 74. Construction du point de contact d'une tangente à une conique choisie parmi 5 tangentes définissant cette conique P. 75. 3.2.5 Conique à structure projective plongée dans le plan P. 75. Théorème de Frégier P. 77. Axe d'homographie P. 78. Application : recherche de l'image M' d'un point M par une homographie donnée par 3 couples de points homologues P. 78. Application : recherche des points fixes d'une homographie sur la droite P. 78. Application : recherche des intersections d'une conique donnée par 5 points avec une droite P. 78. Application : le problème de Castillon P. 79. Généralisation du théorème de Frégier P. 85. 4 Point de vue des groupes de transformations P. 85. 4.1 Produit semi-direct de groupes P. 86. 4.2 Groupes de la géométrie classique P. 86. 4.2.1 Groupe linéaire, groupe projectif P. 87. 4.2.2 Groupe affine P. 88. 4.2.3 Groupes SL(n, K), SA(n, K) et PSL(n, K) P. 88. 4.2.4 Groupes classiques et groupes projectifs P. 91. 5 Compléments et applications P. 91. 5.1 Autres corps de base, cas des corps finis P. 94. 5.2 L'aspect axiomatique P. 97. 5.3 Les applications à la perspective P. 97. 5.3.1 Généralités sur les représentations à base de projection P. 97. 5.3.2 Projection centrale, perspective P. 107. 6 Exercices P. 107. 6.1 Les énoncés P. 107. 6.1.1 Bases de la géométrie projective P. 108. 6.1.2 Le fonctionnement de la géométrie projective P. 110. 6.1.3 Les coniques en géométrie projective P. 113. 6.1.4 Point de vue des groupes de transformations P. 114. 6.1.5 Compléments et applications P. 116. 6.2 Les solutions P. 116. 6.2.1 Bases de la géométrie projective P. 120. 6.2.2 Le fonctionnement de la géométrie projective P. 121. 6.2.3 Les coniques en géométrie projective P. 126. 6.2.4 Point de vue des groupes de transformations P. 128. 6.2.5 Compléments et applications P. 131. Bibliographie P. 133. Index Côte titre : Fs/19656

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