Titre :	Cinq le§ons d'analyse fonctionnelle : Cours et exercices corrigés
Type de document :	texte imprimé
Auteurs :	Berteloot, Fran§ois,
Editeur :	Paris : Ellipses
Année de publication :	2017.
Collection :	R©f©rences sciences, ISSN 2260-8044.
Importance :	1 vol. (249 p.)
Présentation :	couv. ill. en coul.
Format :	24 cm.
ISBN/ISSN/EAN :	978-2-340-02200-3
Note générale :	978-2-340-02200-3
Langues :	Français (fre)
Catégories :	Mathématique
Mots-clés :	Analyse fonctionnelle :Problèmes et exercices
Index. décimale :	515.7 Analyse fonctionnelle
Résumé :	La 4e de couverture indique : "Ce livre est une introduction   l'analyse fonctionnelle, il couvre l'essentiel des th¨mes traditionnellement enseign©s au niveau du Master tout en traitant quelques sujets plus rarement abord©s. Il s'adresse en priorit© aux ©tudiants de Master mais pourra aussi int©resser les agr©gatifs qui y trouveront des exemples permettant d'illustrer leurs le§ons. Le livre commence par une revue des principaux espaces fonctionnels et l'©tude de l'espace des fonctions continues sur un compact. La th©orie g©n©rale est ensuite trait©e en trois rubriques correspondant   des m©thodes sp©cifiques : hilbertiennes, banachiques et enfin g©om©triques. Des exemples d'applications sont choisis dans des secteurs vari©s des math©matiques. Plus d'un tiers du livre est consacr©   des exercices ou probl¨mes ainsi qu'  leurs solutions d©taill©es. Ces exercices sont introduits au fil du texte d¨s l'acquisition des connaissances n©cessaires   leur solution et celles-ci sont rassembl©es   la fin de l'ouvrage. Le livre est con§u pour pouvoir ªtre utilis© aussi bien comme support de cours que comme source d'exercices environn©s de rappels th©oriques"
Note de contenu :	Sommaire 1 Un survol des principaux espaces fonctionnels 1 1.1 Espace des fonctions born´ees sur un ensemble . . . . . . . . . . 2 1.2 Espaces de fonctions d´efinies sur un espace topologique . . . . . 3 1.2.1 Espaces de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Espaces de fonctions d´efinies sur une partie de Rk ... 6 1.3 Espaces de fonctions mesur´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 L’espace de Hilbert L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Espaces d’applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Dual topologique d’un espace vectoriel norm´e . . . . . . 12 1.4.2 Applications lin´eaires continues entre espaces norm´es . . 14 1.4.3 Le th´eor`eme de Hahn-Banach dans le cas des espaces s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.4 Espaces duaux des espaces C(K) et Lp ......... 19 2 Les espaces C(K) 23 2.1 Questions de compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Equicontinuit´e, proc´ed´e diagonal . . . . . . . . . . . . . ´ 24 2.1.2 Le th´eor`eme d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3 Le th´eor`eme de Banach-Alaoglu . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Questions d’approximation et de densit´e . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Le th´eor`eme de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2 Le th´eor`eme de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . 36 2.3 L’universalit´e de C(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1 Plongements d’espaces de Banach dans C(K) et th´eor`eme de Banach-Mazur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2 Vers le th´eor`eme de Gelfand-Naimark . . . . . . . . . . 44 3 M´ethodes hilbertiennes 47 3.1 Structure hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.1 Formes sesquilin´eaires et hermitiennes . . . . . . . . . . 47 3.1.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 vi Table des mati`eres 3.1.3 Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Le Th´eor`eme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1 Projection de meilleure approximation . . . . . . . . . . 51 3.2.2 Suppl´ementaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Propri´et´es essentielles des espaces de Hilbert . . . . . . . . . . 55 3.3.1 Isom´etrie avec le dual topologique, op´erateur adjoint . . 55 3.3.2 Un crit`ere de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.3 Compacit´e faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.4 Bases hilbertiennes, s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . 64 3.4 Analyse spectrale des op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4.1 Inversibilit´e, spectre et valeurs propres d’un op´erateur . 68 3.4.2 Op´erateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4.3 R´eduction des op´erateurs normaux compacts . . . . . . 72 3.4.4 L’alternative de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4 M´ethodes banachiques 81 4.1 Propri´et´es essentielles des espaces m´etriques complets . . . . . 82 4.1.1 Le th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.1.2 Quelques outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2 Lin´earit´e et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2.1 Le th´eor`eme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . 87 4.2.2 Le th´eor`eme de l’application ouverte . . . . . . . . . . . 91 4.2.3 Le th´eor`eme du graphe ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3 Bases dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.3.1 Bases de Hamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.3.2 Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.4 Prolongement des formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4.1 Le th´eor`eme de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4.2 Un crit`ere de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5 M´ethodes g´eom´etriques 115 5.1 Les convexes dans un espace norm´e . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.1.1 Formes lin´eaires et fonctions convexes . . . . . . . . . . 116 5.1.2 Jauges et semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.1.3 Le th´eor`eme de s´eparation de Hahn-Banach . . . . . . . 121 5.1.4 Points extr´emaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.1.5 Th´eor`eme de Banach-Stone ; existence d’isom´etries et points extr´emaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.1.6 Les th´eor`emes de Krein-Milman et de Choquet . . . . . 130 5.2 Espaces localement convexes (e.l.c) . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.2.1 Topologie induite par une famille de semi-normes . . . . 135 5.2.2 Extension aux e.l.c des th´eor`emes de Hahn-Banach, de Krein-Milman et de Choquet . . . . . . . . . . . . . . . 136 Table des mati`eres vii 5.2.3 Topologies faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.2.4 Dualit´e en topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.2.5 Born´es faibles et born´es forts, ferm´es faibles et ferm´es forts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.2.6 Le lemme de Goldstine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.2.7 Compacit´e faible dans un espace dual . . . . . . . . . . 146 5.3 Espaces r´eflexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3.2 R´eflexivit´e et compacit´e faible de la boule unit´e . . . . . 148 5.3.3 R´eflexivit´e et convexit´e uniforme . . . . . . . . . . . . . 150 5.3.4 R´eflexivit´e et compacit´e s´equentielle faible . . . . . . . . 152 5.3.5 Le crit`ere de r´eflexivit´e de James . . . . . . . . . . . . . 153 Solutions des exercices 157 S.1 Exercices de la premi`ere le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 S.2 Exercices de la deuxi`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 S.3 Exercices de la troisi`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 S.4 Exercices sur la quatri`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 S.5 Exercices sur la cinqui`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Table des notations 225 Bibliographie 227 Index
Côte titre :	Fs/22967-22968

Cinq le§ons d'analyse fonctionnelle : Cours et exercices corrigés [texte imprimé] / Berteloot, Fran§ois,  . - Paris : Ellipses, 2017. . - 1 vol. (249 p.) : couv. ill. en coul. ; 24 cm.. - (R©f©rences sciences, ISSN 2260-8044.) .
ISBN : 978-2-340-02200-3
978-2-340-02200-3
Langues : Français (fre)

Catégories :	Mathématique
Mots-clés :	Analyse fonctionnelle :Problèmes et exercices
Index. décimale :	515.7 Analyse fonctionnelle
Résumé :	La 4e de couverture indique : "Ce livre est une introduction   l'analyse fonctionnelle, il couvre l'essentiel des th¨mes traditionnellement enseign©s au niveau du Master tout en traitant quelques sujets plus rarement abord©s. Il s'adresse en priorit© aux ©tudiants de Master mais pourra aussi int©resser les agr©gatifs qui y trouveront des exemples permettant d'illustrer leurs le§ons. Le livre commence par une revue des principaux espaces fonctionnels et l'©tude de l'espace des fonctions continues sur un compact. La th©orie g©n©rale est ensuite trait©e en trois rubriques correspondant   des m©thodes sp©cifiques : hilbertiennes, banachiques et enfin g©om©triques. Des exemples d'applications sont choisis dans des secteurs vari©s des math©matiques. Plus d'un tiers du livre est consacr©   des exercices ou probl¨mes ainsi qu'  leurs solutions d©taill©es. Ces exercices sont introduits au fil du texte d¨s l'acquisition des connaissances n©cessaires   leur solution et celles-ci sont rassembl©es   la fin de l'ouvrage. Le livre est con§u pour pouvoir ªtre utilis© aussi bien comme support de cours que comme source d'exercices environn©s de rappels th©oriques"
Note de contenu :	Sommaire 1 Un survol des principaux espaces fonctionnels 1 1.1 Espace des fonctions born´ees sur un ensemble . . . . . . . . . . 2 1.2 Espaces de fonctions d´efinies sur un espace topologique . . . . . 3 1.2.1 Espaces de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Espaces de fonctions d´efinies sur une partie de Rk ... 6 1.3 Espaces de fonctions mesur´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 L’espace de Hilbert L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Espaces d’applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Dual topologique d’un espace vectoriel norm´e . . . . . . 12 1.4.2 Applications lin´eaires continues entre espaces norm´es . . 14 1.4.3 Le th´eor`eme de Hahn-Banach dans le cas des espaces s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.4 Espaces duaux des espaces C(K) et Lp ......... 19 2 Les espaces C(K) 23 2.1 Questions de compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Equicontinuit´e, proc´ed´e diagonal . . . . . . . . . . . . . ´ 24 2.1.2 Le th´eor`eme d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3 Le th´eor`eme de Banach-Alaoglu . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Questions d’approximation et de densit´e . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Le th´eor`eme de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2 Le th´eor`eme de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . 36 2.3 L’universalit´e de C(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1 Plongements d’espaces de Banach dans C(K) et th´eor`eme de Banach-Mazur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2 Vers le th´eor`eme de Gelfand-Naimark . . . . . . . . . . 44 3 M´ethodes hilbertiennes 47 3.1 Structure hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.1 Formes sesquilin´eaires et hermitiennes . . . . . . . . . . 47 3.1.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 vi Table des mati`eres 3.1.3 Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Le Th´eor`eme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1 Projection de meilleure approximation . . . . . . . . . . 51 3.2.2 Suppl´ementaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Propri´et´es essentielles des espaces de Hilbert . . . . . . . . . . 55 3.3.1 Isom´etrie avec le dual topologique, op´erateur adjoint . . 55 3.3.2 Un crit`ere de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.3 Compacit´e faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.4 Bases hilbertiennes, s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . 64 3.4 Analyse spectrale des op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4.1 Inversibilit´e, spectre et valeurs propres d’un op´erateur . 68 3.4.2 Op´erateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4.3 R´eduction des op´erateurs normaux compacts . . . . . . 72 3.4.4 L’alternative de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4 M´ethodes banachiques 81 4.1 Propri´et´es essentielles des espaces m´etriques complets . . . . . 82 4.1.1 Le th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.1.2 Quelques outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2 Lin´earit´e et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2.1 Le th´eor`eme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . 87 4.2.2 Le th´eor`eme de l’application ouverte . . . . . . . . . . . 91 4.2.3 Le th´eor`eme du graphe ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3 Bases dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.3.1 Bases de Hamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.3.2 Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.4 Prolongement des formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4.1 Le th´eor`eme de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4.2 Un crit`ere de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5 M´ethodes g´eom´etriques 115 5.1 Les convexes dans un espace norm´e . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.1.1 Formes lin´eaires et fonctions convexes . . . . . . . . . . 116 5.1.2 Jauges et semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.1.3 Le th´eor`eme de s´eparation de Hahn-Banach . . . . . . . 121 5.1.4 Points extr´emaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.1.5 Th´eor`eme de Banach-Stone ; existence d’isom´etries et points extr´emaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.1.6 Les th´eor`emes de Krein-Milman et de Choquet . . . . . 130 5.2 Espaces localement convexes (e.l.c) . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.2.1 Topologie induite par une famille de semi-normes . . . . 135 5.2.2 Extension aux e.l.c des th´eor`emes de Hahn-Banach, de Krein-Milman et de Choquet . . . . . . . . . . . . . . . 136 Table des mati`eres vii 5.2.3 Topologies faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.2.4 Dualit´e en topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.2.5 Born´es faibles et born´es forts, ferm´es faibles et ferm´es forts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.2.6 Le lemme de Goldstine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.2.7 Compacit´e faible dans un espace dual . . . . . . . . . . 146 5.3 Espaces r´eflexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3.2 R´eflexivit´e et compacit´e faible de la boule unit´e . . . . . 148 5.3.3 R´eflexivit´e et convexit´e uniforme . . . . . . . . . . . . . 150 5.3.4 R´eflexivit´e et compacit´e s´equentielle faible . . . . . . . . 152 5.3.5 Le crit`ere de r´eflexivit´e de James . . . . . . . . . . . . . 153 Solutions des exercices 157 S.1 Exercices de la premi`ere le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 S.2 Exercices de la deuxi`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 S.3 Exercices de la troisi`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 S.4 Exercices sur la quatri`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 S.5 Exercices sur la cinqui`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Table des notations 225 Bibliographie 227 Index
Côte titre :	Fs/22967-22968