University Sétif 1 FERHAT ABBAS Faculty of Sciences
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Auteur Nadhir Chougui |
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Titre : Analyse mathématique de quelques problèmes contact en électro-élasticité et en électro-viscoélasticité Type de document : texte imprimé Auteurs : Nadhir Chougui, Auteur ; Salah Drabla, Directeur de thèse Editeur : Setif:UFA Année de publication : 2015 Importance : 1 vol (164 f.) Format : 29 cm Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Eectro-èlastiques
Electro-viscoélastiques
Compliance normale
Adhésion
Frottement de Coulomb
Inéquation quasi-variationnelle
Inéquation d'évolution
Solution faible
Point fixeIndex. décimale : 510 Mathématique Résumé :
Résumé : L’objet de cette thèse est l'étude de quelques problèmes en
Mécanique de Contact pour des lois constitutives électro-élastiques et électroviscoélastiques. Les résultats obtenus concernent l'existence et l'unicité d’une
solution faible pour les problèmes étudiés. La thèse est structurée en trois
parties. La première partie est consacrée à rappeler les différents modèles
mécaniques de contact étudiés ainsi que quelques outils mathématiques
nécessaires dans la thèse. La deuxième partie est destinée à l’étude des
problèmes de contact électro-élastiques avec adhésion et frottement. La
troisième partie est dédiée à l’analyse des problèmes électro-viscoélastiques
avec frottement ou adhésion.
Note de contenu :
TABLE DES MATIÈRES
Introduction vi
Notations principales xii
Liste des figures xv
I Modélisation et Outils Mathématiques 1
1 Modélisation 4
1.1 Cadre physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Modèle mathématique du cadre physique . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Lois de comportements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Lois de comportement des matériaux électro-élastiques . 11
1.3.2 Lois de comportement des matériaux électro-viscoélastiques 12
1.4 Conditions aux limites de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Contact bilatérlale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Contact unilatérlale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3 Contact avec compliance normale . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.4 Contact avec adhésion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Lois de contact avec ou sans frottement . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Contact sans frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 Contact avec frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Lois de contact avec frottement et adhésion . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Conditions de contact de type Signorini avec adhésion. . . . . . 26
2 Outils Mathématiques 28
2.1 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Espaces de fonctions continues et continûments différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Les espaces L p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Espaces liés aux opérateurs de déformation et de divergence . . 33
2.3 Espaces des fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Éléments d’analyse non linéaire dans les espaces de Hilbert . . 41
2.4.1 Rappel sur les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2 Fonctions convexes et semi-continuité inférieure . . . . . 44
2.4.3 Différentiabilité et sous différentiabilité . . . . . . . . . . . 45
2.4.4 Inclusions différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.5 Opérateurs non-linéaires et formes bilinéaires dans un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Inéquations variationnelles elliptiques et d’évolution . . . . . . . 51
2.6 Compléments divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
II Problème électro-élastique 59
3 Problème électro-élastique avec frottement et adhésion 62
3.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Résultat d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Problème électro-élastique avec compliance normale, frottement et adhésion 85
4.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Formulation variationelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Résultat d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
III Problèmes Electro-viscoélastique 110
5 Problème éléctro-viscoélastique avec adhésion 113
5.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2 Formulation variationelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3 Résultat d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.1 Démonstration du Théorème 5.3.1 . . . . . . . . . . . . . 122
6 Problème éléctro-viscoélastique avec adhésion et frottement 133
6.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3 Demonstration du Théorème 6.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Bibliographie 156Côte titre : DM/0108 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1Fw0Oq3BBBhLVu3l3LE2XcM19Mlt9O_FI/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Analyse mathématique de quelques problèmes contact en électro-élasticité et en électro-viscoélasticité [texte imprimé] / Nadhir Chougui, Auteur ; Salah Drabla, Directeur de thèse . - [S.l.] : Setif:UFA, 2015 . - 1 vol (164 f.) ; 29 cm.
Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Eectro-èlastiques
Electro-viscoélastiques
Compliance normale
Adhésion
Frottement de Coulomb
Inéquation quasi-variationnelle
Inéquation d'évolution
Solution faible
Point fixeIndex. décimale : 510 Mathématique Résumé :
Résumé : L’objet de cette thèse est l'étude de quelques problèmes en
Mécanique de Contact pour des lois constitutives électro-élastiques et électroviscoélastiques. Les résultats obtenus concernent l'existence et l'unicité d’une
solution faible pour les problèmes étudiés. La thèse est structurée en trois
parties. La première partie est consacrée à rappeler les différents modèles
mécaniques de contact étudiés ainsi que quelques outils mathématiques
nécessaires dans la thèse. La deuxième partie est destinée à l’étude des
problèmes de contact électro-élastiques avec adhésion et frottement. La
troisième partie est dédiée à l’analyse des problèmes électro-viscoélastiques
avec frottement ou adhésion.
Note de contenu :
TABLE DES MATIÈRES
Introduction vi
Notations principales xii
Liste des figures xv
I Modélisation et Outils Mathématiques 1
1 Modélisation 4
1.1 Cadre physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Modèle mathématique du cadre physique . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Lois de comportements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Lois de comportement des matériaux électro-élastiques . 11
1.3.2 Lois de comportement des matériaux électro-viscoélastiques 12
1.4 Conditions aux limites de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Contact bilatérlale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Contact unilatérlale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3 Contact avec compliance normale . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.4 Contact avec adhésion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Lois de contact avec ou sans frottement . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Contact sans frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 Contact avec frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Lois de contact avec frottement et adhésion . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Conditions de contact de type Signorini avec adhésion. . . . . . 26
2 Outils Mathématiques 28
2.1 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Espaces de fonctions continues et continûments différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Les espaces L p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Espaces liés aux opérateurs de déformation et de divergence . . 33
2.3 Espaces des fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Éléments d’analyse non linéaire dans les espaces de Hilbert . . 41
2.4.1 Rappel sur les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2 Fonctions convexes et semi-continuité inférieure . . . . . 44
2.4.3 Différentiabilité et sous différentiabilité . . . . . . . . . . . 45
2.4.4 Inclusions différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.5 Opérateurs non-linéaires et formes bilinéaires dans un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Inéquations variationnelles elliptiques et d’évolution . . . . . . . 51
2.6 Compléments divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
II Problème électro-élastique 59
3 Problème électro-élastique avec frottement et adhésion 62
3.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Résultat d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Problème électro-élastique avec compliance normale, frottement et adhésion 85
4.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Formulation variationelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Résultat d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
III Problèmes Electro-viscoélastique 110
5 Problème éléctro-viscoélastique avec adhésion 113
5.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2 Formulation variationelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3 Résultat d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.1 Démonstration du Théorème 5.3.1 . . . . . . . . . . . . . 122
6 Problème éléctro-viscoélastique avec adhésion et frottement 133
6.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3 Demonstration du Théorème 6.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Bibliographie 156Côte titre : DM/0108 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1Fw0Oq3BBBhLVu3l3LE2XcM19Mlt9O_FI/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Exemplaires (1)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité DM/0108 DM/0108 Thèse Bibliothèque des sciences Français Disponible
Disponible
Titre : Application de la méthode des éléments finis à quelques problèmes stationnaires et instationnaires en dimension un Type de document : texte imprimé Auteurs : Yasmina Azzi, Auteur ; Nadhir Chougui, Directeur de thèse Editeur : Setif:UFA Année de publication : 2021 Importance : 1 vol (40 f.) Format : 29 cm Langues : Français (fre) Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Index. décimale : 510 - Mathématique Résumé :
Le but de ce m´emoire, est l’´etude la m´ethode des ´el´ements finis en dimension 1 pour
la r´esolution des probl`emes aux limites des ´equations diff´erentielles d’ordre 2. La m´ethode
consiste `a d´ecouper le domaine en ´etapes essentielles,est une mani`ere num´erique qui permette
de d´eterminer une solution approch´ee sur un domaine d’´etude.
Tous les r´esultats approximatifs et les repr´esentations graphiques sont obtenus enCôte titre : MAM/0563 En ligne : https://drive.google.com/file/d/13X0nlkkyvlmGyDmWL7Zl2rcl1_rmON5w/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Application de la méthode des éléments finis à quelques problèmes stationnaires et instationnaires en dimension un [texte imprimé] / Yasmina Azzi, Auteur ; Nadhir Chougui, Directeur de thèse . - [S.l.] : Setif:UFA, 2021 . - 1 vol (40 f.) ; 29 cm.
Langues : Français (fre)
Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Index. décimale : 510 - Mathématique Résumé :
Le but de ce m´emoire, est l’´etude la m´ethode des ´el´ements finis en dimension 1 pour
la r´esolution des probl`emes aux limites des ´equations diff´erentielles d’ordre 2. La m´ethode
consiste `a d´ecouper le domaine en ´etapes essentielles,est une mani`ere num´erique qui permette
de d´eterminer une solution approch´ee sur un domaine d’´etude.
Tous les r´esultats approximatifs et les repr´esentations graphiques sont obtenus enCôte titre : MAM/0563 En ligne : https://drive.google.com/file/d/13X0nlkkyvlmGyDmWL7Zl2rcl1_rmON5w/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Exemplaires (1)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité MAM/0563 MAM/0563 Mémoire Bibliothèque des sciences Français Disponible
Disponible
Titre : Existence, unicité et stabilité d’un système thermo-élastique de type Bresse-Timoshenko Type de document : texte imprimé Auteurs : Akram Koussa, Auteur ; Nadhir Chougui, Directeur de thèse Editeur : Setif:UFA Année de publication : 2020 Importance : 1 vol (42 f.) Format : 29 cm Langues : Français (fre) Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Système de Bresse-Timoshenko
Décroissance exponentielle
Fonction d’énergieIndex. décimale : 510 - Mathématique Résumé :
Dans ce mémoire, nous avons considéré un système en thermo-élastique de type
Bresse-Timoshenko avec un délai de retard distribué et amortissement visqueux sur la
rotation angulaire.
Nous avons établir l’existence globale et l’unicité de la solution en utilisant les
approximations de Faedo-Galarkin et quelques estimations énergétiques.
Enfin, nous avons étudié les comportements asymptotiques des solutions de ce
système et par la méthode des multiplicateurs nous avons montré la stabilité
exponentielle du système.
Côte titre : MAM/0418 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1AZoDFq4-9TWyFzl9rKRknaFSJitU8-pS/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Existence, unicité et stabilité d’un système thermo-élastique de type Bresse-Timoshenko [texte imprimé] / Akram Koussa, Auteur ; Nadhir Chougui, Directeur de thèse . - [S.l.] : Setif:UFA, 2020 . - 1 vol (42 f.) ; 29 cm.
Langues : Français (fre)
Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Système de Bresse-Timoshenko
Décroissance exponentielle
Fonction d’énergieIndex. décimale : 510 - Mathématique Résumé :
Dans ce mémoire, nous avons considéré un système en thermo-élastique de type
Bresse-Timoshenko avec un délai de retard distribué et amortissement visqueux sur la
rotation angulaire.
Nous avons établir l’existence globale et l’unicité de la solution en utilisant les
approximations de Faedo-Galarkin et quelques estimations énergétiques.
Enfin, nous avons étudié les comportements asymptotiques des solutions de ce
système et par la méthode des multiplicateurs nous avons montré la stabilité
exponentielle du système.
Côte titre : MAM/0418 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1AZoDFq4-9TWyFzl9rKRknaFSJitU8-pS/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Exemplaires (1)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité MAM/0418 MAM/0418 Mémoire Bibliothèque des sciences Français Disponible
Disponible
Titre : Existence, unicité et stabilité d’un système thermo-élastique de type Timoshenko Type de document : texte imprimé Auteurs : Ouiame Azzouz, Auteur ; Nadhir Chougui, Directeur de thèse Editeur : Setif:UFA Année de publication : 2021 Importance : 1 vol (33 f.) Format : 29 cm Langues : Français (fre) Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Système de timoshenko Index. décimale : 510 - Mathématique Résumé :
Dans notre th`eme, on a trait´e l’existence et l’unicit´e et la stabilit´e d’un syst`eme de la
thermo-´elasticit´e de Timoshenko, qui d´ecrit les vibrations d’une poutre thermo´elastique dans
un domaine born´ee en dimension 1. On montr´e que le syst`eme est exponentiellement stable si
et seulement si le numCôte titre : MAM/0498 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1AMHJdscQlgPQ5wemCki89ebAb7MwnZo8/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Existence, unicité et stabilité d’un système thermo-élastique de type Timoshenko [texte imprimé] / Ouiame Azzouz, Auteur ; Nadhir Chougui, Directeur de thèse . - [S.l.] : Setif:UFA, 2021 . - 1 vol (33 f.) ; 29 cm.
Langues : Français (fre)
Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Système de timoshenko Index. décimale : 510 - Mathématique Résumé :
Dans notre th`eme, on a trait´e l’existence et l’unicit´e et la stabilit´e d’un syst`eme de la
thermo-´elasticit´e de Timoshenko, qui d´ecrit les vibrations d’une poutre thermo´elastique dans
un domaine born´ee en dimension 1. On montr´e que le syst`eme est exponentiellement stable si
et seulement si le numCôte titre : MAM/0498 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1AMHJdscQlgPQ5wemCki89ebAb7MwnZo8/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Exemplaires (1)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité MAM/0498 MAM/0498 Mémoire Bibliothèque des sciences Français Disponible
Disponible
Titre : Introduction to metric & topological spaces Type de document : document électronique Auteurs : Nadhir Chougui, Auteur Editeur : Sétif:UFA1 Année de publication : 2025 Importance : 1 vol (101 f.) Catégories : Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P Mots-clés : Metric spaces
Topological spaces
Connected Spaces
Compact SpacesIndex. décimale : 510 Mathématique Résumé : Chougui-Nadhir
CONTENTS
Introduction iii
1 Metric spaces 1
1.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Open balls, closed balls and spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Open sets, closed sets and neighbourhood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Interior, exterior, boundary and closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Distance between two sets, Diameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Equivalent metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Finite metric products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.1 Continuous Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.2 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9.1 Lipschitz and Contraction Mappings and Applications . . . . . . . . . . 21
1.10 Isometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11 Normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Complete metric spaces 30
2.1 Convergence in a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Convergence and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Cauchy sequences and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Contractive mapping theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Topological spaces 41
3.1 Topology, Open sets and Closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Neighborhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Comparison of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Base and Neighborhood base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Interior points, Adherent points, Accumulation points, Isolated points, Boundary
points, Exterior points and Dense sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.1 Interior points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.2 Adherent points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.3 Accumulation points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.4 Isolated Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ii
Chougui-Nadhir
3.5.5 Boundary points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.6 Exterior points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.7 Dense sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Separated Spaces (Hausdorff Spaces)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 Induced topology, Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7.1 Induced topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7.2 Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8 Convergent sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.9 Continuous applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.10 Open and closed maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.11 Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Compact Spaces 79
4.1 Compactness in Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1 Compact Spaces and Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2 Properties of Compact Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Compactness in metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.1 Precompact spaces and sequentially compact spaces . . . . . . . . . . . . 86
4.2.2 Properties of Compact Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Connected Spaces 92
5.1 Connectivity in Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.1 Connected Spaces and Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.2 Properties of Connected Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.3 Connected components, locally connected spaces . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.4 Path-connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Connectedness in Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.1 Definitions and properties of connectivity in metric spaces . . . . . . . . 100
Bibliography 101
En ligne : http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/6463/1/Cours-Topologi [...] Format de la ressource électronique : Introduction to metric & topological spaces [document électronique] / Nadhir Chougui, Auteur . - [S.l.] : Sétif:UFA1, 2025 . - 1 vol (101 f.).
Catégories : Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P Mots-clés : Metric spaces
Topological spaces
Connected Spaces
Compact SpacesIndex. décimale : 510 Mathématique Résumé : Chougui-Nadhir
CONTENTS
Introduction iii
1 Metric spaces 1
1.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Open balls, closed balls and spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Open sets, closed sets and neighbourhood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Interior, exterior, boundary and closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Distance between two sets, Diameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Equivalent metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Finite metric products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.1 Continuous Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.2 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9.1 Lipschitz and Contraction Mappings and Applications . . . . . . . . . . 21
1.10 Isometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11 Normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Complete metric spaces 30
2.1 Convergence in a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Convergence and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Cauchy sequences and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Contractive mapping theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Topological spaces 41
3.1 Topology, Open sets and Closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Neighborhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Comparison of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Base and Neighborhood base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Interior points, Adherent points, Accumulation points, Isolated points, Boundary
points, Exterior points and Dense sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.1 Interior points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.2 Adherent points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.3 Accumulation points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.4 Isolated Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ii
Chougui-Nadhir
3.5.5 Boundary points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.6 Exterior points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.7 Dense sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Separated Spaces (Hausdorff Spaces)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 Induced topology, Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7.1 Induced topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7.2 Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8 Convergent sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.9 Continuous applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.10 Open and closed maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.11 Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Compact Spaces 79
4.1 Compactness in Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1 Compact Spaces and Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2 Properties of Compact Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Compactness in metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.1 Precompact spaces and sequentially compact spaces . . . . . . . . . . . . 86
4.2.2 Properties of Compact Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Connected Spaces 92
5.1 Connectivity in Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.1 Connected Spaces and Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.2 Properties of Connected Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.3 Connected components, locally connected spaces . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.4 Path-connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Connectedness in Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.1 Definitions and properties of connectivity in metric spaces . . . . . . . . 100
Bibliography 101
En ligne : http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/6463/1/Cours-Topologi [...] Format de la ressource électronique : Exemplaires (1)
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