Etude qualitative de classes de systèmes différentiels planaires / Grazem ,Mohamed  

Public ISBD Titre : Etude qualitative de classes de systèmes différentiels planaires Type de document : texte imprimé Auteurs : Grazem ,Mohamed, Auteur ; Ahmed Bendjeddou, Directeur de thèse Editeur : Setif:UFA Année de publication : 2019 Importance : 1 vol (84 f .) Format : 29 cm Langues : Français (fre) Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Systèmes différentiels polynômiaux planaires Systèmes différentiels de Kolmogorov Intégrale première Solutions périodiques Cycles limites algébriques et non Algébrique Index. décimale : 510 Mathématique Résumé : L'objectif de cette thèse est l'étude qualitative de certaines classes des systèmes différentiels polynômiaux planaires non linéaires. L'intégrabilité de ces systèmes a été étudiée. Sous des conditions appropriées, l'existence des cycles limites hyperboliques a été prouvée. De plus, nous avons pu déterminer les expressions explicites des intégrales premières et des cycles limites (algébriques et non algébriques) trouvés pour toutes les classes étudiées. Enfin, quelques exemples ont été présentés pour illustrer les résultats obtenus pour chaque classe Note de contenu : Sommaire Introduction générale 1 1 Rappels et notions de base 5 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Systèmes di¤érentiels planaires polynômiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Solutions dÂ’un système di¤érentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Champ de vecteurs, orbite, portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Flot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Linéarisation et matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Equivalence topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Théorème de Hartman-Grobman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Stabilité de l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.5 ClassiÂ…cation des points singuliers dÂ’un système linéaire dans le plan (tr; det) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Courbes invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Problème dÂ’intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.1 Intégrales premières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.2 Facteurs intégrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.3 Facteurs intégrants inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.4 Facteurs exponentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Solutions périodiques, cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 i Table des matières 1.7 Existence de cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7.1 Critères dÂ’existence de cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8 Stabilité des cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8.1 Types de cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8.2 Fonction du premier retour de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8.3 Stabilité et fonction de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Sur quelques classes de systèmes de Kolmogorov 30 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Classe I : Systèmes quintiques intégrables à cycle limite algébrique . . . . . . 32 2.2.1 Intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2 Existence de cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.3 Exemples dÂ’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Classe II : Systèmes quintiques intégrables à cycle limite non-algébrique . . . 40 2.3.1 Intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.2 Existence de cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.3 Exemples dÂ’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Coexistence de trois cycles limites pour une classe de systèmes septique 55 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 Existence de cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.1 Résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.2 Lemmes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.3 Preuve du résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4 Exemples dÂ’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Conclusion et perspectives 78 Bibliographie Côte titre : DM/0146 En ligne : https://drive.google.com/file/d/13R4gY0tjRFEbgnf44wCMjSjkdIvvzGgT/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : pdf Etude qualitative de classes de systèmes différentiels planaires [texte imprimé] / Grazem ,Mohamed, Auteur ; Ahmed Bendjeddou, Directeur de thèse . - [S.l.] : Setif:UFA, 2019 . - 1 vol (84 f .) ; 29 cm. Langues : Français (fre) Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : Systèmes différentiels polynômiaux planaires Systèmes différentiels de Kolmogorov Intégrale première Solutions périodiques Cycles limites algébriques et non Algébrique Index. décimale : 510 Mathématique Résumé : L'objectif de cette thèse est l'étude qualitative de certaines classes des systèmes différentiels polynômiaux planaires non linéaires. L'intégrabilité de ces systèmes a été étudiée. Sous des conditions appropriées, l'existence des cycles limites hyperboliques a été prouvée. De plus, nous avons pu déterminer les expressions explicites des intégrales premières et des cycles limites (algébriques et non algébriques) trouvés pour toutes les classes étudiées. Enfin, quelques exemples ont été présentés pour illustrer les résultats obtenus pour chaque classe Note de contenu : Sommaire Introduction générale 1 1 Rappels et notions de base 5 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Systèmes di¤érentiels planaires polynômiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Solutions dÂ’un système di¤érentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Champ de vecteurs, orbite, portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Flot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Linéarisation et matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Equivalence topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Théorème de Hartman-Grobman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Stabilité de l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.5 ClassiÂ…cation des points singuliers dÂ’un système linéaire dans le plan (tr; det) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Courbes invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Problème dÂ’intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.1 Intégrales premières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.2 Facteurs intégrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.3 Facteurs intégrants inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.4 Facteurs exponentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Solutions périodiques, cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 i Table des matières 1.7 Existence de cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7.1 Critères dÂ’existence de cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8 Stabilité des cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8.1 Types de cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8.2 Fonction du premier retour de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8.3 Stabilité et fonction de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Sur quelques classes de systèmes de Kolmogorov 30 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Classe I : Systèmes quintiques intégrables à cycle limite algébrique . . . . . . 32 2.2.1 Intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2 Existence de cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.3 Exemples dÂ’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Classe II : Systèmes quintiques intégrables à cycle limite non-algébrique . . . 40 2.3.1 Intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.2 Existence de cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.3 Exemples dÂ’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Coexistence de trois cycles limites pour une classe de systèmes septique 55 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 Existence de cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.1 Résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.2 Lemmes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.3 Preuve du résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4 Exemples dÂ’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Conclusion et perspectives 78 Bibliographie Côte titre : DM/0146 En ligne : https://drive.google.com/file/d/13R4gY0tjRFEbgnf44wCMjSjkdIvvzGgT/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : pdf

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