Sur l’équation de Pell-Fermat : x²-dy²= ±1 avec d sans facteur carré. / Allouache, Selma  

Public ISBD Titre : Sur l’équation de Pell-Fermat : x²-dy²= ±1 avec d sans facteur carré. Type de document : texte imprimé Auteurs : Allouache, Selma, Auteur ; Daoud Bounabi, Directeur de thèse Editeur : Setif:UFA Année de publication : 2019 Importance : 1 vol (50 f .) Format : 29 cm Langues : Français (fre) Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : unité fondamentale Anneau des entiers Index. décimale : 510 Mathématique Résumé : L’objet de ce travail est la recherche des solutions, en nombres entiers rationnels, de l’équation : x²-dy²=±1. On montre que l’ensemble des solutions (x, y)∈ℤ (x>0 et y>0) de cette équation est de la forme εⁿ où ε est l'unité fondamentale du corps quadratique ℚ[√d]. On montre que ε=x₀+y₀√d si d≅2 ou 3[mod4] et ε=1/2(x₀+y₀√d) avec x₀ et y₀ de même parité si d≅1[mod4]. On détermine cette unité fondamentale par la méthode algébrique ou par celle des Fractions Continues. Note de contenu : Sommaire Notations 2 Introduction 5 1 Généralités sur les extensions 6 1.1 Théorème de l’élément primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Normes et Traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Formules de transitivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Formules de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Anneau des entiers algébriques d’un corps de nombres 14 2.1 Corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Anneau des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Théorème de l’élément primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Discriminant d’un corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Théorème des unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 Théorème de Dirichlet ou Théorème des unités . . . . . . . . . . . 18 3 Corps quadratiques 19 3.1 Entiers algébriques d’un corps quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Discriminant d’un corps quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Corps quadratiques imaginaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Corps quadratiques réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4.1 d = 2 ou 3 [mod 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 3.4.2 d = 1 [mod 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4 Résolution de l’équation de Pell-Fermat 4.1 d = 2 ou 3 [mod 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 d = 1 [mod 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3 Résolution de l’équation de Pell-Fermat par la méthode des Fractions Continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Conclusion 67 Bibliographie 68 2 Côte titre : MAM/0366 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1Ptmv5t7RhDYKJ0VUDJMbf1sXQ9V_edxL/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : pdf Sur l’équation de Pell-Fermat : x²-dy²= ±1 avec d sans facteur carré. [texte imprimé] / Allouache, Selma, Auteur ; Daoud Bounabi, Directeur de thèse . - [S.l.] : Setif:UFA, 2019 . - 1 vol (50 f .) ; 29 cm. Langues : Français (fre) Catégories : Thèses & Mémoires:Mathématique Mots-clés : unité fondamentale Anneau des entiers Index. décimale : 510 Mathématique Résumé : L’objet de ce travail est la recherche des solutions, en nombres entiers rationnels, de l’équation : x²-dy²=±1. On montre que l’ensemble des solutions (x, y)∈ℤ (x>0 et y>0) de cette équation est de la forme εⁿ où ε est l'unité fondamentale du corps quadratique ℚ[√d]. On montre que ε=x₀+y₀√d si d≅2 ou 3[mod4] et ε=1/2(x₀+y₀√d) avec x₀ et y₀ de même parité si d≅1[mod4]. On détermine cette unité fondamentale par la méthode algébrique ou par celle des Fractions Continues. Note de contenu : Sommaire Notations 2 Introduction 5 1 Généralités sur les extensions 6 1.1 Théorème de l’élément primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Normes et Traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Formules de transitivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Formules de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Anneau des entiers algébriques d’un corps de nombres 14 2.1 Corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Anneau des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Théorème de l’élément primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Discriminant d’un corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Théorème des unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 Théorème de Dirichlet ou Théorème des unités . . . . . . . . . . . 18 3 Corps quadratiques 19 3.1 Entiers algébriques d’un corps quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Discriminant d’un corps quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Corps quadratiques imaginaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Corps quadratiques réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4.1 d = 2 ou 3 [mod 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 3.4.2 d = 1 [mod 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4 Résolution de l’équation de Pell-Fermat 4.1 d = 2 ou 3 [mod 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 d = 1 [mod 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3 Résolution de l’équation de Pell-Fermat par la méthode des Fractions Continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Conclusion 67 Bibliographie 68 2 Côte titre : MAM/0366 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1Ptmv5t7RhDYKJ0VUDJMbf1sXQ9V_edxL/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : pdf

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