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| Titre : |
Theoretical and Numerical Study of Some Models in Mechanics |
| Type de document : |
document électronique |
| Auteurs : |
Meriem Chabekh, Auteur ; Nadhir Chougui, Directeur de thèse |
| Editeur : |
Setif:UFA |
| Année de publication : |
2025 |
| Importance : |
1 vol (198 f.) |
| Format : |
29 cm |
| Langues : |
Anglais (eng) |
| Catégories : |
Thèses & Mémoires:Mathématique
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| Mots-clés : |
Mathématique |
| Index. décimale : |
510 - Mathématique |
| Résumé : |
In this dissertation, we study the existence and the long-term behavior of certain systems influenced
by various dissipation mechanisms, damping effects, and delayed term. By imposing appropriate
assumptions, we establish the well-posedness by the application of semigroup theory or the Faedo-
Galerkin approach. To achieve the desired stability results for the systems, we employ the multiplier
method.
To support the theoretical findings, a numerical analysis is conducted for each problem. Fully discrete
approximations are formulated using the finite-element method combined with the implicit Euler
scheme. Numerical simulations, implemented in MATLAB, are provided to illustrate the accuracy of
the approximations and the behavior of the solutions. |
| Note de contenu : |
Sommaire
Chapter Page
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Thermoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Shear beam model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Laminated beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 The porous thermoelastic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Delay differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 About the finite element method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Structure of the thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Preliminaries and materials needed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Functional spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Banach spaces, Inner product spaces, Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Weak topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Weak* topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Reflexive, separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.5 Lebesgue spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.6 Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.7 Bochner spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.8 Compactness result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Green’s formula and some inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Basic theory of semigroups associated with dissipative systems . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Strongly continuous semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 The Lumer Phillips Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 Wellposedness and regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 The Standard finite-element method in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 (Ritz-)Galerkin method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 Lagrange P1 elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3 Convergence of the method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.4 Non-stationary PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.5 Numerical errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.6 Numerical illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
CONTENTS ix
3 Analysis of a Shear beam model with suspenders in thermoelasticity of type III . . . . . 25
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Global well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Exponential stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Numerical approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.1 Description of the discrete problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.2 Study of the discrete energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5.3 Error estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Analysis of a laminated beam with dual-phase-lag thermoelasticity . . . . . . . . . . . . 65
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Technical lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Asymptotic behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.1 Exponential stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4.2 Polynomial stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5 Numerical approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5.1 Description of the discrete problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5.2 Study of the discrete energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5.3 Error estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5 Long time behavior and numerical treatment of shear beam model subject to a delay . . 109
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Preliminaries and main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3 Global well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4 Exponential stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5 Numerical approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.1 Stability of the scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.2 A priori error estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.6 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6 A memory-type porous thermoelastic system with microtemperatures effects and delay
term in the internal feedback: Well-Posedness, Stability and Numerical Results . . . . . 141
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3 Well-posedness of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.4 General stability result for μ2 ⩽ μ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.1 The case μ2 < μ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.4.2 The case μ2 = μ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5 Numerical approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.5.1 Description of the discrete problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.5.2 An iterative algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.5.3 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 |
| Côte titre : |
DM/0208 |
Theoretical and Numerical Study of Some Models in Mechanics [document électronique] / Meriem Chabekh, Auteur ; Nadhir Chougui, Directeur de thèse . - [S.l.] : Setif:UFA, 2025 . - 1 vol (198 f.) ; 29 cm. Langues : Anglais ( eng)
| Catégories : |
Thèses & Mémoires:Mathématique
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| Mots-clés : |
Mathématique |
| Index. décimale : |
510 - Mathématique |
| Résumé : |
In this dissertation, we study the existence and the long-term behavior of certain systems influenced
by various dissipation mechanisms, damping effects, and delayed term. By imposing appropriate
assumptions, we establish the well-posedness by the application of semigroup theory or the Faedo-
Galerkin approach. To achieve the desired stability results for the systems, we employ the multiplier
method.
To support the theoretical findings, a numerical analysis is conducted for each problem. Fully discrete
approximations are formulated using the finite-element method combined with the implicit Euler
scheme. Numerical simulations, implemented in MATLAB, are provided to illustrate the accuracy of
the approximations and the behavior of the solutions. |
| Note de contenu : |
Sommaire
Chapter Page
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Thermoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Shear beam model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Laminated beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 The porous thermoelastic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Delay differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 About the finite element method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Structure of the thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Preliminaries and materials needed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Functional spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Banach spaces, Inner product spaces, Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Weak topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Weak* topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Reflexive, separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.5 Lebesgue spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.6 Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.7 Bochner spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.8 Compactness result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Green’s formula and some inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Basic theory of semigroups associated with dissipative systems . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Strongly continuous semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 The Lumer Phillips Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 Wellposedness and regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 The Standard finite-element method in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 (Ritz-)Galerkin method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 Lagrange P1 elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3 Convergence of the method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.4 Non-stationary PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.5 Numerical errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.6 Numerical illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
CONTENTS ix
3 Analysis of a Shear beam model with suspenders in thermoelasticity of type III . . . . . 25
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Global well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Exponential stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Numerical approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.1 Description of the discrete problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.2 Study of the discrete energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5.3 Error estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Analysis of a laminated beam with dual-phase-lag thermoelasticity . . . . . . . . . . . . 65
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Technical lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Asymptotic behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.1 Exponential stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4.2 Polynomial stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5 Numerical approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5.1 Description of the discrete problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5.2 Study of the discrete energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5.3 Error estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5 Long time behavior and numerical treatment of shear beam model subject to a delay . . 109
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Preliminaries and main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3 Global well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4 Exponential stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5 Numerical approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.1 Stability of the scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.2 A priori error estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.6 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6 A memory-type porous thermoelastic system with microtemperatures effects and delay
term in the internal feedback: Well-Posedness, Stability and Numerical Results . . . . . 141
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3 Well-posedness of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.4 General stability result for μ2 ⩽ μ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.1 The case μ2 < μ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.4.2 The case μ2 = μ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5 Numerical approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.5.1 Description of the discrete problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.5.2 An iterative algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.5.3 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 |
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DM/0208 |
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Theoretical and Numerical Study of Some Models in Mechanics
