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Auteur Imene Touil |
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Etude théorique et numérique des méthodes de points intérieurs de type trajectoire centrale pour la programmation semi-définie linéaire / Imene Touil
Titre : Etude théorique et numérique des méthodes de points intérieurs de type trajectoire centrale pour la programmation semi-définie linéaire Type de document : texte imprimé Auteurs : Imene Touil ; D. Benterki, Directeur de thèse Editeur : Setif:UFA Année de publication : 2017 Importance : 1 vol (89 f.) Format : 29 cm Catégories : Mathématique Mots-clés : Programmation semi-définie linéaire,
Méthode de trajectoire centrale,
Méthode de points intérieurs primale–duale,
Analyse de la complexitéIndex. décimale : 510 Mathématique Résumé :
Résumé
Dans cette thèse, on s’est intéressé à la résolution du problème de programmation semi-définie
(PSD) par la méthode de trajectoire centrale. On a associé à (PSD) un problème perturbé, noté
(PSD)µ. En premier lieu, on a montré l'existence et l'unicité de la solution optimale du problème
(PSD)µ , ensuite on a montré que cette solution converge vers la solution optimale du problème
originel (PSD) quand µ tend vers zéro.
Puis, on a proposé quatre nouvelles alternatives pour calculer le pas de déplacement par une
technique simple, facile et moins couteuse. Enfin, pour valoriser notre contribution, on a présenté
des simulations numériques pour illustrer l’efficacité et la convergence des quatre alternatives vers
la solution optimale du problème considéré (PSD).
Note de contenu :
Table des matières
Introduction 4
1 Préliminaires et notions fondamentales 8
1.1 Analyse matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Determinant, spectre et norme spectrale . . . . . . . . . . . . . . . ´ 8
1.1.2 Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Produit scalaire et norme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Matrices (semi-) definies positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 11
1.2 Analyse convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Ensembles et fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Ensembles et fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Le cone des matrices sym ˆ etriques semi-d ´ efinies positives . . . . . ´ 21
1.3 Programmation mathematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 22
1.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 22
1.3.2 Principaux resultats d’existence et d’unicit ´ e . . . . . . . . . . . . . ´ 24
1.3.3 Conditions d’optimalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 25
1.3.4 Programme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 26
2 La programmation semi-d´efinie : Th´eorie, Applications et R´esolution 27
2.1 Les programmes semi-definis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 27
2.1.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Theorie de la dualit ´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 30`
2.2.1 Exemples pathologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Relations primales-duales pour la programmation semi-definie . ´ 35
2.3 Domaines d’applications en PSD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Optimisation des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2 Programmation quadratique avec contraintes quadratiques . . . 39
2.3.3 Approximation logarithmique de Tchebychev . . . . . . . . . . . 40
2.3.4 Problemes g ` eom´ etriques en formes quadratiques . . . . . . . . . ´ 42
2.3.5 Optimisation quadratique non convexe . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Methode de points int ´ erieurs pour r ´ esoudre ( ´ PSD) . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1 Methodes a ´ ffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.2 Methodes de r ´ eduction du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 47
2.4.3 Methodes de trajectoire centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 49
3 M´ethode r ´ealisable de trajectoire centrale pour la programmation semi-d´efinie 52
3.1 Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 53
3.2 Existence et unicite de la solution optimale du probl ´ eme ` (PSD)µ et sa convergence vers une solution du (PSD) . ... . 54
3.2.1 Existence et unicite de la solution optimale de ´ (PSD)µ. . . . . 54
3.2.2 Convergence de la solution optimale de (PSD)µ vers la solution optimale de (PSD) . . . . . . . . . 56
3.3 Methode de trajectoire centrale primale-duale . . . . . . . . . . . . . . . ´ 57
3.3.1 Calcul du pas de deplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 60
3.4 L’algorithme prototype et l’analyse de sa complexite . . . . . . . . . . . . ´ 66
3.4.1 Algorithme de la methode de trajectoire centrale . . . . . . . . . . ´ 66
3.4.2 Resultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 67
3.4.3 Analyse de la complexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 69
3.5 Mise en oeuvre de la methode de trajectoire centrale pour ( ´ PSD) . . . . . 76
3.5.1 Exemples a taille fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 76
3.5.2 Exemple a taille variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 80
3.5.3 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Conclusion 82Côte titre : DM/0124 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1bqglv3NYoW88vlcsZ8rr_YOzcQzp-nMr/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Etude théorique et numérique des méthodes de points intérieurs de type trajectoire centrale pour la programmation semi-définie linéaire [texte imprimé] / Imene Touil ; D. Benterki, Directeur de thèse . - [S.l.] : Setif:UFA, 2017 . - 1 vol (89 f.) ; 29 cm.
Catégories : Mathématique Mots-clés : Programmation semi-définie linéaire,
Méthode de trajectoire centrale,
Méthode de points intérieurs primale–duale,
Analyse de la complexitéIndex. décimale : 510 Mathématique Résumé :
Résumé
Dans cette thèse, on s’est intéressé à la résolution du problème de programmation semi-définie
(PSD) par la méthode de trajectoire centrale. On a associé à (PSD) un problème perturbé, noté
(PSD)µ. En premier lieu, on a montré l'existence et l'unicité de la solution optimale du problème
(PSD)µ , ensuite on a montré que cette solution converge vers la solution optimale du problème
originel (PSD) quand µ tend vers zéro.
Puis, on a proposé quatre nouvelles alternatives pour calculer le pas de déplacement par une
technique simple, facile et moins couteuse. Enfin, pour valoriser notre contribution, on a présenté
des simulations numériques pour illustrer l’efficacité et la convergence des quatre alternatives vers
la solution optimale du problème considéré (PSD).
Note de contenu :
Table des matières
Introduction 4
1 Préliminaires et notions fondamentales 8
1.1 Analyse matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Determinant, spectre et norme spectrale . . . . . . . . . . . . . . . ´ 8
1.1.2 Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Produit scalaire et norme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Matrices (semi-) definies positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 11
1.2 Analyse convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Ensembles et fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Ensembles et fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Le cone des matrices sym ˆ etriques semi-d ´ efinies positives . . . . . ´ 21
1.3 Programmation mathematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 22
1.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 22
1.3.2 Principaux resultats d’existence et d’unicit ´ e . . . . . . . . . . . . . ´ 24
1.3.3 Conditions d’optimalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 25
1.3.4 Programme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 26
2 La programmation semi-d´efinie : Th´eorie, Applications et R´esolution 27
2.1 Les programmes semi-definis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 27
2.1.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Theorie de la dualit ´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 30`
2.2.1 Exemples pathologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Relations primales-duales pour la programmation semi-definie . ´ 35
2.3 Domaines d’applications en PSD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Optimisation des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2 Programmation quadratique avec contraintes quadratiques . . . 39
2.3.3 Approximation logarithmique de Tchebychev . . . . . . . . . . . 40
2.3.4 Problemes g ` eom´ etriques en formes quadratiques . . . . . . . . . ´ 42
2.3.5 Optimisation quadratique non convexe . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Methode de points int ´ erieurs pour r ´ esoudre ( ´ PSD) . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1 Methodes a ´ ffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.2 Methodes de r ´ eduction du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 47
2.4.3 Methodes de trajectoire centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 49
3 M´ethode r ´ealisable de trajectoire centrale pour la programmation semi-d´efinie 52
3.1 Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 53
3.2 Existence et unicite de la solution optimale du probl ´ eme ` (PSD)µ et sa convergence vers une solution du (PSD) . ... . 54
3.2.1 Existence et unicite de la solution optimale de ´ (PSD)µ. . . . . 54
3.2.2 Convergence de la solution optimale de (PSD)µ vers la solution optimale de (PSD) . . . . . . . . . 56
3.3 Methode de trajectoire centrale primale-duale . . . . . . . . . . . . . . . ´ 57
3.3.1 Calcul du pas de deplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 60
3.4 L’algorithme prototype et l’analyse de sa complexite . . . . . . . . . . . . ´ 66
3.4.1 Algorithme de la methode de trajectoire centrale . . . . . . . . . . ´ 66
3.4.2 Resultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 67
3.4.3 Analyse de la complexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 69
3.5 Mise en oeuvre de la methode de trajectoire centrale pour ( ´ PSD) . . . . . 76
3.5.1 Exemples a taille fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 76
3.5.2 Exemple a taille variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 80
3.5.3 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Conclusion 82Côte titre : DM/0124 En ligne : https://drive.google.com/file/d/1bqglv3NYoW88vlcsZ8rr_YOzcQzp-nMr/view?usp=shari [...] Format de la ressource électronique : Exemplaires (1)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité DM/0124 DM/0124 Thèse Bibliothéque des sciences Français Disponible
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