Finite Volume Method For An Elliptic Problem In 3d / Yousra Brada  

Public ISBD Titre : Finite Volume Method For An Elliptic Problem In 3d Type de document : document électronique Auteurs : Yousra Brada, Auteur ; Yousra Brada, Auteur ; Mohamed Kara, Directeur de thèse Editeur : Sétif:UFS Année de publication : 2025 Importance : 1 vol (58 f.) Format : 29 cm Langues : Anglais (eng) Mots-clés : Elliptic problem Eigenvalues Eigenfunctions Spectral theory Finite volume Method Convergence Résumé : This thesis is devoted to the spectral analysis of a three-dimensional elliptic problem using the finite volume method. After presenting the functional framework, Sobolev spaces, and the main results of spectral theory, a variational formulation of the problem is established. A finite volume discretization on a structured three-dimensional mesh is then developed. The proposed scheme has been validated through numerical tests. The obtained results demonstrate the accuracy of the numerical scheme. Note de contenu : Contents General Introduction 6 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chapter 1 : Functional Framework and Spectral Theory 10 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 The Sobolev Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Weak Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 The Sobolev Space W1,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Scalar Product and Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 The Space H1 0(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Fundamental Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Poincaré Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Divergence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 Green’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.4 Linear and bilinear Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.6 Symmetric Bilinear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.7 Lax–Milgram Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Spectral Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Kernel and Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 Eigenvalues and Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.4 Spectral theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chapter 2 : Finite Volume Methods for Elliptical Problems 17 2.1 The Problem setting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 The weak formulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Continuity and coercivity of the bilinear form . . . . . . . . . 21 2.3 Spectral study of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Finite volume discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.1 Description of the mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 Discretization of problem equations . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.3 Flux computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 Final result in block matrix form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Chapter 3 : Numerical Tests 37 3.1 Validation of the method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 The Tensor Product Rn ⊗ Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Tensor Product of Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 Discretization of the operator A . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Structure of the Matrix in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.1 Elements of the problem matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5 3D assembly via the Kronecker product . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.6 Program in Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6.1 Resolution of the generalized eigenvalue problem . . . . . . . 49 General Conclusion 58 Bibliography Côte titre : MAM/0846 En ligne : https://repository.univ-setif.dz/server/api/core/bitstreams/df7407ac-5d98-4cf7-a [...] Finite Volume Method For An Elliptic Problem In 3d [document électronique] / Yousra Brada, Auteur ; Yousra Brada, Auteur ; Mohamed Kara, Directeur de thèse . - [S.l.] : Sétif:UFS, 2025 . - 1 vol (58 f.) ; 29 cm. Langues : Anglais (eng) Mots-clés : Elliptic problem Eigenvalues Eigenfunctions Spectral theory Finite volume Method Convergence Résumé : This thesis is devoted to the spectral analysis of a three-dimensional elliptic problem using the finite volume method. After presenting the functional framework, Sobolev spaces, and the main results of spectral theory, a variational formulation of the problem is established. A finite volume discretization on a structured three-dimensional mesh is then developed. The proposed scheme has been validated through numerical tests. The obtained results demonstrate the accuracy of the numerical scheme. Note de contenu : Contents General Introduction 6 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chapter 1 : Functional Framework and Spectral Theory 10 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 The Sobolev Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Weak Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 The Sobolev Space W1,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Scalar Product and Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 The Space H1 0(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Fundamental Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Poincaré Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Divergence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 Green’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.4 Linear and bilinear Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.6 Symmetric Bilinear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.7 Lax–Milgram Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Spectral Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Kernel and Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 Eigenvalues and Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.4 Spectral theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chapter 2 : Finite Volume Methods for Elliptical Problems 17 2.1 The Problem setting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 The weak formulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Continuity and coercivity of the bilinear form . . . . . . . . . 21 2.3 Spectral study of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Finite volume discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.1 Description of the mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 Discretization of problem equations . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.3 Flux computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 Final result in block matrix form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Chapter 3 : Numerical Tests 37 3.1 Validation of the method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 The Tensor Product Rn ⊗ Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Tensor Product of Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 Discretization of the operator A . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Structure of the Matrix in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.1 Elements of the problem matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5 3D assembly via the Kronecker product . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.6 Program in Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6.1 Resolution of the generalized eigenvalue problem . . . . . . . 49 General Conclusion 58 Bibliography Côte titre : MAM/0846 En ligne : https://repository.univ-setif.dz/server/api/core/bitstreams/df7407ac-5d98-4cf7-a [...]

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