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Titre : Analyse 3 : Notes de cours et exercices:destinées aux étudiants de 2ème année de Licence en Mathématiques, et 2ème année Physique et Technologie Type de document : texte imprimé Auteurs : BENSEBAA, Nadjet, Auteur Année de publication : 2024 Importance : 1 vol (86 p.) Format : 29 cm Langues : Français (fre) Catégories : Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P Mots-clés : Analyse 3 Index. décimale : 510-Mathématique Note de contenu :
Table des matières
Introduction 1
1 Séries numériques 1
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Condition nécessaire de convergence d'une série . . . . . . . . . . 3
1.3 Série géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Critère de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Critère d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 Règle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.4 Règle de D0Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.5 Comparaison avec une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.6 Critère de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.7 Série de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.8 Série de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Séries à termes de signes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Série alternée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Suites et séries de fonctions 25
2.1 Suites des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Les séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.5 Propriété des sommes des séries de fonctions . . . . . . . . 36
2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Séries entières 46
3.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Opération linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Propriétés des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Séries de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Développements en séries entières usuels en x0 = 0 . . . . . . . . . 54
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Séries de Fourier 59
4.1 Calcul des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Fonction monotone par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Série de Fourier des fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . 63
4.4 Forme complexe d'une série de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Approximation en moyenne des séries de Fourier et égalité de Par-seval. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.7 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Intégrales impropres 73
5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Critères généraux de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.1 Critère de comparaision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.2 Critère d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Etude de l'intégrale ..... réel donné . . . . . . . . . . . . . 77
5.4 Etude de l'intégrale... réel donné . . . . . . . . . . 78
5.5 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.6 Règle d'Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.7 Intégrale sur les intervalles ]a; b] et ]a; b[ . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.9 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Bibliographie 85Côte titre : PM/0016 En ligne : http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/5017/1/Analyse%203%20 [...] Analyse 3 : Notes de cours et exercices:destinées aux étudiants de 2ème année de Licence en Mathématiques, et 2ème année Physique et Technologie [texte imprimé] / BENSEBAA, Nadjet, Auteur . - 2024 . - 1 vol (86 p.) ; 29 cm.
Langues : Français (fre)
Catégories : Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P Mots-clés : Analyse 3 Index. décimale : 510-Mathématique Note de contenu :
Table des matières
Introduction 1
1 Séries numériques 1
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Condition nécessaire de convergence d'une série . . . . . . . . . . 3
1.3 Série géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Critère de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Critère d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 Règle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.4 Règle de D0Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.5 Comparaison avec une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.6 Critère de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.7 Série de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.8 Série de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Séries à termes de signes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Série alternée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Suites et séries de fonctions 25
2.1 Suites des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Les séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.5 Propriété des sommes des séries de fonctions . . . . . . . . 36
2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Séries entières 46
3.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Opération linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Propriétés des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Séries de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Développements en séries entières usuels en x0 = 0 . . . . . . . . . 54
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Séries de Fourier 59
4.1 Calcul des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Fonction monotone par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Série de Fourier des fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . 63
4.4 Forme complexe d'une série de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Approximation en moyenne des séries de Fourier et égalité de Par-seval. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.7 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Intégrales impropres 73
5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Critères généraux de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.1 Critère de comparaision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.2 Critère d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Etude de l'intégrale ..... réel donné . . . . . . . . . . . . . 77
5.4 Etude de l'intégrale... réel donné . . . . . . . . . . 78
5.5 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.6 Règle d'Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.7 Intégrale sur les intervalles ]a; b] et ]a; b[ . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.9 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Bibliographie 85Côte titre : PM/0016 En ligne : http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/5017/1/Analyse%203%20 [...] Exemplaires (5)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité PM/0016 PM/0016-0020 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Français Disponible
Sorti jusqu'au 26/10/2025PM/0017 PM/0016-0020 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Français Disponible
Sorti jusqu'au 31/12/2025PM/0018 PM/0016-0020 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Français Disponible
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DisponiblePM/0020 PM/0016-0020 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Français Disponible
Disponible
Titre : Analysis III: Intended to the students of second year Bachelor in Mathematics Type de document : texte imprimé Auteurs : Rachid Cheurfa, Auteur Année de publication : 2023 Importance : 1 vol (58 p.) Format : 29 cm Langues : Français (fre) Catégories : Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P Mots-clés : Analysis 3 Index. décimale : 510-Mathématique Note de contenu : CONTENTS
Contents
Introduction
1 NUMERICAL SERIES
1.1De…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Operations on Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Necessary Condition for Convergence . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 The harmonic series diverges. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.3 Criteria for Convergence of Series with Positive Terms . . . . . . . . .6
1.3.1 Comparison of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.3.2 Alembert criterion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3.3 Cauchy criterion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.3.4 Comparison with an Integral: . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.3.5 Equivalence criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.3.6 Another comparison criterion: . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.4 Series with Arbitrary Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.4.1 Abel’s criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2 SEQUENCES AND SERIES OF FUNCTIONS16
2.1 Sequences of functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.1.1 Simple convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.1.2 Uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.2 Series of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.3 Simple, uniform and normal convergence of a series of functions . . .21
2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
3 POWER SERIES29
3.1 Radius of Convergence of a Power Series . . . . . . . . . . . . . . . .29
3.2 Function C1 not developable in series. . . . . . . . . . . . . . . . .35
3.3 Additional information on power series . . . . . . . . . . . . . . . . .36
4 FOURIER SERIES39
4.1 Determination of Fourier Coe¢ cients . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
4.2 Fourier Series of Functions with Arbitrary Period . . . . . . . . . . .44
4.3 Fourier Series of Even and Odd Functions. . . . . . . . . . . . . . .44
4.4 Complex Form of Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
4.5 Approximation of a Function by a Trigonometric Polynomial. . . .46
5 IMPROPER INTEGRALS48
5.1 De…nitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
5.2 Absolute Convergence of Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . .50
5.3 Some Convergence Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
5.4 Reference Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
5.5 Integral depending on a parameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
5.5.1 Limit passage under the integral sign . . . . . . . . . . . . . .53
5.5.2 Continuity of a parameter-dependent integral. . . . . . . . .54
5.5.3 Di¤erentiation of a parameterized integral . . . . . . . . . . .55
Côte titre : PM/0021 En ligne : http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/4923/1/COURSE%20ANALY [...] Analysis III: Intended to the students of second year Bachelor in Mathematics [texte imprimé] / Rachid Cheurfa, Auteur . - 2023 . - 1 vol (58 p.) ; 29 cm.
Langues : Français (fre)
Catégories : Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P Mots-clés : Analysis 3 Index. décimale : 510-Mathématique Note de contenu : CONTENTS
Contents
Introduction
1 NUMERICAL SERIES
1.1De…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Operations on Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Necessary Condition for Convergence . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 The harmonic series diverges. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.3 Criteria for Convergence of Series with Positive Terms . . . . . . . . .6
1.3.1 Comparison of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.3.2 Alembert criterion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3.3 Cauchy criterion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.3.4 Comparison with an Integral: . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.3.5 Equivalence criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.3.6 Another comparison criterion: . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.4 Series with Arbitrary Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.4.1 Abel’s criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2 SEQUENCES AND SERIES OF FUNCTIONS16
2.1 Sequences of functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.1.1 Simple convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.1.2 Uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.2 Series of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.3 Simple, uniform and normal convergence of a series of functions . . .21
2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
3 POWER SERIES29
3.1 Radius of Convergence of a Power Series . . . . . . . . . . . . . . . .29
3.2 Function C1 not developable in series. . . . . . . . . . . . . . . . .35
3.3 Additional information on power series . . . . . . . . . . . . . . . . .36
4 FOURIER SERIES39
4.1 Determination of Fourier Coe¢ cients . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
4.2 Fourier Series of Functions with Arbitrary Period . . . . . . . . . . .44
4.3 Fourier Series of Even and Odd Functions. . . . . . . . . . . . . . .44
4.4 Complex Form of Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
4.5 Approximation of a Function by a Trigonometric Polynomial. . . .46
5 IMPROPER INTEGRALS48
5.1 De…nitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
5.2 Absolute Convergence of Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . .50
5.3 Some Convergence Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
5.4 Reference Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
5.5 Integral depending on a parameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
5.5.1 Limit passage under the integral sign . . . . . . . . . . . . . .53
5.5.2 Continuity of a parameter-dependent integral. . . . . . . . .54
5.5.3 Di¤erentiation of a parameterized integral . . . . . . . . . . .55
Côte titre : PM/0021 En ligne : http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/4923/1/COURSE%20ANALY [...] Exemplaires (5)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité PM/0021 PM/0021-0025 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Anglais Disponible
Sorti jusqu'au 28/10/2025PM/0022 PM/0021-0025 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Anglais Disponible
DisponiblePM/0023 PM/0021-0025 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Anglais Disponible
DisponiblePM/0024 PM/0021-0025 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Anglais Disponible
Sorti jusqu'au 20/11/2025PM/0025 PM/0021-0025 livre Bibliothèque des sciences Anglais Disponible
Disponible
Titre : Anneau,corps et théorie de galois : Cours destinés aux étudiants de master mathématiques,option:algèbre et géométrie Type de document : texte imprimé Auteurs : Daoud Bounabi, Auteur Editeur : Publication pédagogique Année de publication : 2023 Importance : 1 vol (291 p.) Format : 29 cm Langues : Français (fre) Catégories : Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P Mots-clés : Anneau Corps Théorie de galois Index. décimale : 510-Mathématique Côte titre : PPM/0001-0005 Anneau,corps et théorie de galois : Cours destinés aux étudiants de master mathématiques,option:algèbre et géométrie [texte imprimé] / Daoud Bounabi, Auteur . - [S.l.] : Publication pédagogique, 2023 . - 1 vol (291 p.) ; 29 cm.
Langues : Français (fre)
Catégories : Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P Mots-clés : Anneau Corps Théorie de galois Index. décimale : 510-Mathématique Côte titre : PPM/0001-0005 Exemplaires (5)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité PM/0001 PM/0001-0005 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Français Disponible
DisponiblePM/0002 PM/0001-0005 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Français Disponible
DisponiblePM/0003 PM/0001-0005 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Français Disponible
DisponiblePM/0004 PM/0001-0005 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Français Disponible
DisponiblePM/0005 PM/0001-0005 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Français Disponible
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Titre : Global Optimization Type de document : document électronique Auteurs : Mohamed Rahal Editeur : Sétif:UFS Année de publication : 2024 Importance : 1 vol (71 f.) Langues : Anglais (eng) Catégories : Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P Mots-clés : Optimization
Branch-and-Bound
Classical Optimization
Lipschitz global optimization
Global Multidimensional OptimizationIndex. décimale : 519.6 Optimisation mathématique Note de contenu :
Contents
General Introduction 3
1 General Review of Classical Optimization 5
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Local Minimum and Global Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 General Theorems of Existence and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Optimality Conditions Case C = Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Necessary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Sufficient Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Approximate Methods for Solving the Problem . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.1 Descent Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2 Gradient Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Limitations of classic optimization methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Univariate Lipschitz global optimization 12
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Global optimization methods based on local search techniques. . . . . . . . 13
2.2.1 Methods of multiple initializations (Multi-start) . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Tunnel excavation technique (Tunneling) . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Covering methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Passive covering method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Evtushenko’s iterative covering method . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Global optimization methods using support functions . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Piyavskii-Shubert method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 Brent’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Global Multidimensional Optimization Methods 35
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Branch-and-Bound Separation and Evaluation Method . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 General Branch and Bound Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Branch and Bound Algorithm on the Main Diagonal of an Hyperrectangle
in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 The reducing transformation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Presentation of the Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Construction of -dense curves in a box in Rn . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3 Constrained global optimization of multivariate functions based on
dimensionality reduction through -dense curves . . . . . . . . . . . 42
3.3.4 Lower and Upper bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.5 A constructive method for generating -dense curves in the feasible
region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.6 Constructing a concrete -dense curves . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.7 One-dimensional unconstrained problem . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67En ligne : http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/6524/1/RahalPolycopi% [...] Global Optimization [document électronique] / Mohamed Rahal . - [S.l.] : Sétif:UFS, 2024 . - 1 vol (71 f.).
Langues : Anglais (eng)
Catégories : Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P Mots-clés : Optimization
Branch-and-Bound
Classical Optimization
Lipschitz global optimization
Global Multidimensional OptimizationIndex. décimale : 519.6 Optimisation mathématique Note de contenu :
Contents
General Introduction 3
1 General Review of Classical Optimization 5
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Local Minimum and Global Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 General Theorems of Existence and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Optimality Conditions Case C = Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Necessary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Sufficient Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Approximate Methods for Solving the Problem . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.1 Descent Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2 Gradient Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Limitations of classic optimization methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Univariate Lipschitz global optimization 12
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Global optimization methods based on local search techniques. . . . . . . . 13
2.2.1 Methods of multiple initializations (Multi-start) . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Tunnel excavation technique (Tunneling) . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Covering methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Passive covering method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Evtushenko’s iterative covering method . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Global optimization methods using support functions . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Piyavskii-Shubert method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 Brent’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Global Multidimensional Optimization Methods 35
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Branch-and-Bound Separation and Evaluation Method . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 General Branch and Bound Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Branch and Bound Algorithm on the Main Diagonal of an Hyperrectangle
in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 The reducing transformation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Presentation of the Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Construction of -dense curves in a box in Rn . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3 Constrained global optimization of multivariate functions based on
dimensionality reduction through -dense curves . . . . . . . . . . . 42
3.3.4 Lower and Upper bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.5 A constructive method for generating -dense curves in the feasible
region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.6 Constructing a concrete -dense curves . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.7 One-dimensional unconstrained problem . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67En ligne : http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/6524/1/RahalPolycopi% [...] Exemplaires (1)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité PM/0039 PM/0039 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Anglais Disponible
Disponible
Titre : Introduction to metric & topological spaces Type de document : document électronique Auteurs : Nadhir Chougui, Auteur Editeur : Sétif:UFA1 Année de publication : 2025 Importance : 1 vol (101 f.) Catégories : Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P Mots-clés : Metric spaces
Topological spaces
Connected Spaces
Compact SpacesIndex. décimale : 510 Mathématique Résumé : Chougui-Nadhir
CONTENTS
Introduction iii
1 Metric spaces 1
1.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Open balls, closed balls and spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Open sets, closed sets and neighbourhood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Interior, exterior, boundary and closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Distance between two sets, Diameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Equivalent metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Finite metric products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.1 Continuous Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.2 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9.1 Lipschitz and Contraction Mappings and Applications . . . . . . . . . . 21
1.10 Isometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11 Normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Complete metric spaces 30
2.1 Convergence in a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Convergence and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Cauchy sequences and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Contractive mapping theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Topological spaces 41
3.1 Topology, Open sets and Closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Neighborhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Comparison of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Base and Neighborhood base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Interior points, Adherent points, Accumulation points, Isolated points, Boundary
points, Exterior points and Dense sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.1 Interior points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.2 Adherent points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.3 Accumulation points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.4 Isolated Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ii
Chougui-Nadhir
3.5.5 Boundary points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.6 Exterior points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.7 Dense sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Separated Spaces (Hausdorff Spaces)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 Induced topology, Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7.1 Induced topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7.2 Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8 Convergent sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.9 Continuous applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.10 Open and closed maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.11 Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Compact Spaces 79
4.1 Compactness in Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1 Compact Spaces and Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2 Properties of Compact Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Compactness in metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.1 Precompact spaces and sequentially compact spaces . . . . . . . . . . . . 86
4.2.2 Properties of Compact Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Connected Spaces 92
5.1 Connectivity in Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.1 Connected Spaces and Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.2 Properties of Connected Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.3 Connected components, locally connected spaces . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.4 Path-connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Connectedness in Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.1 Definitions and properties of connectivity in metric spaces . . . . . . . . 100
Bibliography 101
En ligne : http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/6463/1/Cours-Topologi [...] Format de la ressource électronique : Introduction to metric & topological spaces [document électronique] / Nadhir Chougui, Auteur . - [S.l.] : Sétif:UFA1, 2025 . - 1 vol (101 f.).
Catégories : Publications pédagogiques:Mathématiaue P/P Mots-clés : Metric spaces
Topological spaces
Connected Spaces
Compact SpacesIndex. décimale : 510 Mathématique Résumé : Chougui-Nadhir
CONTENTS
Introduction iii
1 Metric spaces 1
1.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Open balls, closed balls and spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Open sets, closed sets and neighbourhood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Interior, exterior, boundary and closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Distance between two sets, Diameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Equivalent metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Finite metric products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.1 Continuous Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.2 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9.1 Lipschitz and Contraction Mappings and Applications . . . . . . . . . . 21
1.10 Isometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11 Normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Complete metric spaces 30
2.1 Convergence in a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Convergence and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Cauchy sequences and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Contractive mapping theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Topological spaces 41
3.1 Topology, Open sets and Closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Neighborhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Comparison of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Base and Neighborhood base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Interior points, Adherent points, Accumulation points, Isolated points, Boundary
points, Exterior points and Dense sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.1 Interior points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.2 Adherent points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.3 Accumulation points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.4 Isolated Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ii
Chougui-Nadhir
3.5.5 Boundary points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.6 Exterior points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.7 Dense sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Separated Spaces (Hausdorff Spaces)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 Induced topology, Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7.1 Induced topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7.2 Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8 Convergent sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.9 Continuous applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.10 Open and closed maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.11 Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Compact Spaces 79
4.1 Compactness in Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1 Compact Spaces and Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2 Properties of Compact Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Compactness in metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.1 Precompact spaces and sequentially compact spaces . . . . . . . . . . . . 86
4.2.2 Properties of Compact Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Connected Spaces 92
5.1 Connectivity in Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.1 Connected Spaces and Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.2 Properties of Connected Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.3 Connected components, locally connected spaces . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.4 Path-connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Connectedness in Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.1 Definitions and properties of connectivity in metric spaces . . . . . . . . 100
Bibliography 101
En ligne : http://dspace.univ-setif.dz:8888/jspui/bitstream/123456789/6463/1/Cours-Topologi [...] Format de la ressource électronique : Exemplaires (1)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité Pm/0037 Pm/0037 imprimé / autre Bibliothèque des sciences Français Disponible
DisponibleIntroduction to normed and hilbert spaces: Intended to the students of the third year Bachelorin Mathematics / Rachid Cheurfa
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