Cours d'analyse fonctionnelle / Daniel Li

Public ISBD Titre : Cours d'analyse fonctionnelle : Avec 200 exercices corrigés Type de document : texte imprimé Auteurs : Daniel Li, Auteur Editeur : Paris : Ellipses Année de publication : 2013 Collection : Références sciences Importance : 1 vol. (443 p.) Présentation : graph., couv. ill. en coul. Format : 24 cm ISBN/ISSN/EAN : 978-2-7298-8305-8 Note générale : Bibliogr. p. 439-440. Index Langues : Français (fre) Catégories : Mathématique Mots-clés : Analyse fonctionnelle : Problèmes et exercices Index. décimale : 515.7 Analyse fonctionnelle Résumé : Ce livre est destiné en priorité aux étudiants de Master 1 de Mathématiques. Ils y trouveront exposées les bases de l'Analyse fonctionnelle. On a cherché à donner le panorama le plus large possible à ce niveau, tout en restant dans des limites raisonnables. On y trouve à la fois les aspects "abstraits" et "concrets" de l'Analyse fonctionnelle, et il permettra à ceux qui l'ont bien assimilé de poursuivre des études dans toute branche des Mathématiques dans laquelle l'Analyse fonctionnelle intervient. Ce livre rendra aussi service aux étudiants préparant l'Agrégation, ainsi qu'aux élèves des Écoles d'ingénieurs ou de Master de Physique théorique. Il contient 200 exercices avec des solutions détaillées, allant de la simple application jusqu'à des ouvertures vers des théories plus avancées. Côte titre : Fs/16361-16365,Fs/16486-16490 Cours d'analyse fonctionnelle : Avec 200 exercices corrigés [texte imprimé] / Daniel Li, Auteur . - Paris : Ellipses, 2013 . - 1 vol. (443 p.) : graph., couv. ill. en coul. ; 24 cm. - (Références sciences) . ISBN : 978-2-7298-8305-8 Bibliogr. p. 439-440. Index Langues : Français (fre) Catégories : Mathématique Mots-clés : Analyse fonctionnelle : Problèmes et exercices Index. décimale : 515.7 Analyse fonctionnelle Résumé : Ce livre est destiné en priorité aux étudiants de Master 1 de Mathématiques. Ils y trouveront exposées les bases de l'Analyse fonctionnelle. On a cherché à donner le panorama le plus large possible à ce niveau, tout en restant dans des limites raisonnables. On y trouve à la fois les aspects "abstraits" et "concrets" de l'Analyse fonctionnelle, et il permettra à ceux qui l'ont bien assimilé de poursuivre des études dans toute branche des Mathématiques dans laquelle l'Analyse fonctionnelle intervient. Ce livre rendra aussi service aux étudiants préparant l'Agrégation, ainsi qu'aux élèves des Écoles d'ingénieurs ou de Master de Physique théorique. Il contient 200 exercices avec des solutions détaillées, allant de la simple application jusqu'à des ouvertures vers des théories plus avancées. Côte titre : Fs/16361-16365,Fs/16486-16490

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Intégration et applications / Daniel Li

Public ISBD Titre : Intégration et applications : Cours et exercices corrigés Type de document : texte imprimé Auteurs : Daniel Li, Auteur Editeur : Paris : Ellipses Année de publication : 2016 Collection : Références sciences Importance : 1 vol. (513 p.) Présentation : ill. Format : 24 cm ISBN/ISSN/EAN : 978-2-340-01308-7 Note générale : Bibliogr. p. III. Index Langues : Français (fre) Catégories : Mathématique Mots-clés : Mathématiques :Manuels d'enseignement supérieur Calcul intégral : Problèmes et exercices Riemann, Intégrale de Équations intégrales Index. décimale : 515.4 Calcul intégral, équations intégrales Résumé : Ce livre est principalement destiné aux étudiants de L3 en mathématiques, mais il sera aussi utile aux étudiants des écoles d'ingénieurs et aux physiciens. Les étudiants préparant l'agrégation de mathématiques l'utiliseront aussi avec profit. Il contient près de 200 exercices, plus ou moins longs, avec des solutions détaillées. Après un rappel conséquent sur l'intégrale de Riemann, qu'il est indispensable de bien maîtriser, la construction et les propriétés de l'intégrale de Lebesgue sont développées. On montre ensuite comment l'utiliser en analyse de Fourier et en probabilités. Note de contenu : Sommaire : P. i. Liminaire P. 1. I. Intégrale de Riemann P. 1. I.1. Introduction P. 2. I.2. Construction de l'intégrale de Riemann P. 2. I.2.1. Introduction P. 4. I.2.2. Fonctions en escalier P. 5. I.2.3. Sommes de Darboux P. 6. I.2.4. Construction P. 8. I.2.5. Exemples P. 10. I.2.6. Sommes de Riemann P. 12. I.3. Propriétés de l'intégrale de Riemann P. 12. I.3.1. Linéarité P. 13. I.3.2. Positivité P. 14. I.3.3. Produit P. 15. I.3.4. Théorème fondamental du Calcul Intégral P. 18. I.3.5. Convergence pour les suites de fonctions P. 19. I.3.6. Intégrales dépendant d'un paramètre P. 21. I.3.7. Intégration par parties et changement de variable P. 23. I.3.8. Formules de la moyenne P. 27. I.3.9. Annexe P. 28. I.4. Intégrales généralisées P. 28. I.4.1. Introduction P. 31. I.4.2. Fonctions positives P. 34. I.4.3. Fonctions qui ne sont pas positives P. 38. I.4.4. Intégrales généralisées de suites de fonctions P. 42. I.5. Exercices P. 47. II. Tribus et mesures P. 47. II.1. Introduction P. 48. II.2. Tribus de parties P. 48. II.2.1. Dénombrabilité P. 49. II.2.2. Tribus P. 55. II.3. Applications mesurables P. 55. II.3.1. Définitions P. 55. II.3.2. Critères de mesurabilité P. 58. II.3.3. Sous-espaces P. 59. II.3.4. Mesurabilité des applications à valeurs réelles P. 63. II.3.5. Opérations sur les applications mesurables P. 67. II.3.6. Fonctions étagées P. 70. II.4. Mesures positives P. 70. II.4.1. Définition - Exemples P. 73. II.4.2. Construction de mesures positives P. 74. II.4.3. Propriétés des mesures positives P. 78. II.4.4. Quelques propriétés de la mesure de Lebesgue P. 81. II.5. Annexe sur la dénombrabilité P. 85. II.6. Exercices P. 85. II.6.1. Dénombrabilité P. 86. II.6.2. Ensembles et applications mesurables P. 88. II.6.3. Mesures positives P. 93. III. Construction de l'intégrale de Lebesgue P. 93. III.1. Intégration des fonctions étagées positives P. 100. III.2. Intégration des fonctions mesurables positives P. 100. III.2.1. Définition et premières propriétés P. 103. III.2.2. Le Théorème de convergence monotone P. 105. III.2.3. Cas de la mesure de comptage P. 108. III.2.4. Le Lemme de Fatou P. 109. III.3. Fonctions intégrables réelles ou complexes P. 109. III.3.1. Fonctions réelles P. 113. III.3.2. Fonctions à valeurs complexes P. 115. III.4. Comparaison avec l'intégrale de Riemann P. 115. III.4.1. Cas d'un intervalle compact P. 117. III.4.2. Cas des intégrales généralisées P. 119. III.5. Exemples d'intégrabilité P. 119. III.5.1. Mesure de Dirac P. 119. III.5.2. Mesure de comptage sur N* P. 119. III.5.3. Mesure-image P. 121. III.5.4. Mesures à densité P. 123. III.5.5. Intégration sur une partie mesurable P. 124. III.6. Exercices P. 127. IV. Théorème de convergence dominée et ses conséquences P. 127. IV.1. La notion de presque partout P. 127. IV.1.1. Ensembles négligeables P. 129. IV.1.2. Propriétés vraies presque partout P. 135. IV.1.3. Complément P. 135. IV.2. Le Théorème de convergence dominée P. 135. IV.2.1. Théorème de convergence dominée de Lebesgue P. 141. IV.2.2. Quelques exemples d'utilisation P. 145. IV.3. Intégrales dépendant d'un paramètre P. 145. IV.3.1. Position du problème P. 146. IV.3.2. Continuité P. 147. IV.3.3. Limites P. 148. IV.3.4. Dérivabilité P. 154. IV. 4. Exercices P. 155. IV.4.1. Théorème de convergence dominée P. 160. IV.4.2. Intégrales dépendant d'un paramètre P. 165. V. Intégration sur un espace produit P. 165. V.1. Produit d'espaces mesurables P. 165. V.1.1. Tribu engendrée par une famille d'applications P. 166. V.1.2. Produit d'espaces mesurables P. 167. V.1.3. Cas des tribus boréliennes P. 168. V.1.4. Applications mesurables P. 170. V.2. Mesure-produit P. 170. V.2.1. Unicité des mesures P. 174. V.2.2. Définition de la mesure-produit P. 180. V.3. Théorèmes de Fubini P. 180. V.3.1. Cas des fonctions positives P. 185. V.3.2. Fonctions à valeurs réelles ou complexes P. 188. V.3.3. Quelques exemples d'application P. 196. V.4. Exercices P. 203. VI. Les espaces Lp P. 203. VI.1. Espaces L1 et L1 P. 206. VI.2. Espaces Lp et Lp pour 1 P. 206. VI.2.1. Définition P. 208. VI.2.2. Complétude P. 209. VI.2.3. Inégalité de Hölder P. 213. VI.3. Sous-espaces denses P. 213. VI.3.1. Fonctions étagées P. 215. VI.3.2. Propriétés de régularité des mesures P. 219. VI.3.3. Fonctions continues à support compact P. 222. VI.4. Exercices P. 231. VII. Changement de variable sur un ouvert de RN P. 231. VII.1. Propriétés de la mesure de Lebesgue P. 235. VII.2. Théorème général de changement de variable P. 236. VII.2.1. Exemple important : coordonnées polaires dans le plan P. 238. VII.3. Preuve du Théorème de changement de variables P. 242. VII.4. Exercices P. 247. VIII. Séries de Fourier P. 247. VIII.1. Séries de Fourier des fonctions continues P. 253. VIII.2. Séries de Fourier des fonctions intégrables P. 253. VIII.2.1. Séries de Fourier des fonctions de L1 P. 254. VIII.2.2. Séries de Fourier des fonctions de L2 P. 256. VIII.3. Annexe : Rappel sur les espaces de Hilbert P. 256. VIII.3.1. Généralités P. 257. VIII.3.2. Orthogonalité P. 259. VIII.3.3. Bases orthonormées P. 262. VIII.4. Exercices P. 269. IX. Introduction aux Probabilités P. 269. IX.1. Généralités P. 269. IX.1.1. Espace de probabilité P. 270. IX.1.2. Variables aléatoires P. 271. IX.1.3. Loi d'une variable aléatoire P. 273. IX.1.4. Exemples de lois usuelles P. 278. IX.2. Indépendance P. 278. IX.2.1. Événements indépendants P. 279. IX.2.2. Variables aléatoires indépendantes P. 281. IX.2.3. Propriétés des v.a.r. indépendantes P. 283. IX.2.4. Somme de v.a.r. indépendantes P. 286. IX.2.5. Loi des grands nombres P. 288. IX.3. Complément : de l'intérêt de la notion de tribu P. 288. IX.3.1. Tribus indépendantes P. 290. IX.3.2. Tribu asymptotique P. 291. IX.3.3. Loi du 0 - 1 de Kolmogorov P. 294. IX.4. Exercices P. 305. X. Annexe P. 305. X.1. Construction de la mesure de Lebesgue P. 305. X.1.1. Mesure positive engendrée par une mesure extérieure P. 311. X.1.2. Théorème de prolongement P. 314. X.1.3. La mesure de Lebesgue sur R P. 319. X.1.4. Propriétés de la mesure de Lebesgue sur R P. 322. X.1.5. Mesure de Lebesgue sur Rd P. 322. X.2. Théorème de représentation de Riesz P. 322. X.2.1. Préliminaires topologiques P. 325. X.2.2. Énoncé du Théorème de représentation P. 326. X.2.3. Preuve de l'existence P. 333. X.2.4. Annexe : Preuve du Théorème d'Urysohn P. 335. XI. Corrigés des exercices P. 335. XI.1. Exercices du Chapitre I P. 345. XI.2. Exercices du Chapitre II P. 345. XI.2.1. Dénombrabilité P. 347. XI.2.2. Ensembles, applications mesurables P. 352. XI.2.3. Mesures positives P. 360. XI.3. Exercices du Chapitre III P. 367. XI.4. Exercices du Chapitre IV P. 371. XI.4.1. Théorème de convergence dominée P. 385. XI.4.2. Intégrales dépendant d'un paramètre P. 399. XI.5. Exercices du Chapitre V P. 417. XI.6. Exercices du Chapitre VI P. 440. XI.7. Exercices du Chapitre VII P. 454. XI.8. Exercices du Chapitre VIII P. 471. XI.9. Exercices du Chapitre IX P. 509. Liste des notations P. 511. Index terminologique Côte titre : Fs/19657 Intégration et applications : Cours et exercices corrigés [texte imprimé] / Daniel Li, Auteur . - Paris : Ellipses, 2016 . - 1 vol. (513 p.) : ill. ; 24 cm. - (Références sciences) . ISBN : 978-2-340-01308-7 Bibliogr. p. III. Index Langues : Français (fre) Catégories : Mathématique Mots-clés : Mathématiques :Manuels d'enseignement supérieur Calcul intégral : Problèmes et exercices Riemann, Intégrale de Équations intégrales Index. décimale : 515.4 Calcul intégral, équations intégrales Résumé : Ce livre est principalement destiné aux étudiants de L3 en mathématiques, mais il sera aussi utile aux étudiants des écoles d'ingénieurs et aux physiciens. Les étudiants préparant l'agrégation de mathématiques l'utiliseront aussi avec profit. Il contient près de 200 exercices, plus ou moins longs, avec des solutions détaillées. Après un rappel conséquent sur l'intégrale de Riemann, qu'il est indispensable de bien maîtriser, la construction et les propriétés de l'intégrale de Lebesgue sont développées. On montre ensuite comment l'utiliser en analyse de Fourier et en probabilités. Note de contenu : Sommaire : P. i. Liminaire P. 1. I. Intégrale de Riemann P. 1. I.1. Introduction P. 2. I.2. Construction de l'intégrale de Riemann P. 2. I.2.1. Introduction P. 4. I.2.2. Fonctions en escalier P. 5. I.2.3. Sommes de Darboux P. 6. I.2.4. Construction P. 8. I.2.5. Exemples P. 10. I.2.6. Sommes de Riemann P. 12. I.3. Propriétés de l'intégrale de Riemann P. 12. I.3.1. Linéarité P. 13. I.3.2. Positivité P. 14. I.3.3. Produit P. 15. I.3.4. Théorème fondamental du Calcul Intégral P. 18. I.3.5. Convergence pour les suites de fonctions P. 19. I.3.6. Intégrales dépendant d'un paramètre P. 21. I.3.7. Intégration par parties et changement de variable P. 23. I.3.8. Formules de la moyenne P. 27. I.3.9. Annexe P. 28. I.4. Intégrales généralisées P. 28. I.4.1. Introduction P. 31. I.4.2. Fonctions positives P. 34. I.4.3. Fonctions qui ne sont pas positives P. 38. I.4.4. Intégrales généralisées de suites de fonctions P. 42. I.5. Exercices P. 47. II. Tribus et mesures P. 47. II.1. Introduction P. 48. II.2. Tribus de parties P. 48. II.2.1. Dénombrabilité P. 49. II.2.2. Tribus P. 55. II.3. Applications mesurables P. 55. II.3.1. Définitions P. 55. II.3.2. Critères de mesurabilité P. 58. II.3.3. Sous-espaces P. 59. II.3.4. Mesurabilité des applications à valeurs réelles P. 63. II.3.5. Opérations sur les applications mesurables P. 67. II.3.6. Fonctions étagées P. 70. II.4. Mesures positives P. 70. II.4.1. Définition - Exemples P. 73. II.4.2. Construction de mesures positives P. 74. II.4.3. Propriétés des mesures positives P. 78. II.4.4. Quelques propriétés de la mesure de Lebesgue P. 81. II.5. Annexe sur la dénombrabilité P. 85. II.6. Exercices P. 85. II.6.1. Dénombrabilité P. 86. II.6.2. Ensembles et applications mesurables P. 88. II.6.3. Mesures positives P. 93. III. Construction de l'intégrale de Lebesgue P. 93. III.1. Intégration des fonctions étagées positives P. 100. III.2. Intégration des fonctions mesurables positives P. 100. III.2.1. Définition et premières propriétés P. 103. III.2.2. Le Théorème de convergence monotone P. 105. III.2.3. Cas de la mesure de comptage P. 108. III.2.4. Le Lemme de Fatou P. 109. III.3. Fonctions intégrables réelles ou complexes P. 109. III.3.1. Fonctions réelles P. 113. III.3.2. Fonctions à valeurs complexes P. 115. III.4. Comparaison avec l'intégrale de Riemann P. 115. III.4.1. Cas d'un intervalle compact P. 117. III.4.2. Cas des intégrales généralisées P. 119. III.5. Exemples d'intégrabilité P. 119. III.5.1. Mesure de Dirac P. 119. III.5.2. Mesure de comptage sur N* P. 119. III.5.3. Mesure-image P. 121. III.5.4. Mesures à densité P. 123. III.5.5. Intégration sur une partie mesurable P. 124. III.6. Exercices P. 127. IV. Théorème de convergence dominée et ses conséquences P. 127. IV.1. La notion de presque partout P. 127. IV.1.1. Ensembles négligeables P. 129. IV.1.2. Propriétés vraies presque partout P. 135. IV.1.3. Complément P. 135. IV.2. Le Théorème de convergence dominée P. 135. IV.2.1. Théorème de convergence dominée de Lebesgue P. 141. IV.2.2. Quelques exemples d'utilisation P. 145. IV.3. Intégrales dépendant d'un paramètre P. 145. IV.3.1. Position du problème P. 146. IV.3.2. Continuité P. 147. IV.3.3. Limites P. 148. IV.3.4. Dérivabilité P. 154. IV. 4. Exercices P. 155. IV.4.1. Théorème de convergence dominée P. 160. IV.4.2. Intégrales dépendant d'un paramètre P. 165. V. Intégration sur un espace produit P. 165. V.1. Produit d'espaces mesurables P. 165. V.1.1. Tribu engendrée par une famille d'applications P. 166. V.1.2. Produit d'espaces mesurables P. 167. V.1.3. Cas des tribus boréliennes P. 168. V.1.4. Applications mesurables P. 170. V.2. Mesure-produit P. 170. V.2.1. Unicité des mesures P. 174. V.2.2. Définition de la mesure-produit P. 180. V.3. Théorèmes de Fubini P. 180. V.3.1. Cas des fonctions positives P. 185. V.3.2. Fonctions à valeurs réelles ou complexes P. 188. V.3.3. Quelques exemples d'application P. 196. V.4. Exercices P. 203. VI. Les espaces Lp P. 203. VI.1. Espaces L1 et L1 P. 206. VI.2. Espaces Lp et Lp pour 1 P. 206. VI.2.1. Définition P. 208. VI.2.2. Complétude P. 209. VI.2.3. Inégalité de Hölder P. 213. VI.3. Sous-espaces denses P. 213. VI.3.1. Fonctions étagées P. 215. VI.3.2. Propriétés de régularité des mesures P. 219. VI.3.3. Fonctions continues à support compact P. 222. VI.4. Exercices P. 231. VII. Changement de variable sur un ouvert de RN P. 231. VII.1. Propriétés de la mesure de Lebesgue P. 235. VII.2. Théorème général de changement de variable P. 236. VII.2.1. Exemple important : coordonnées polaires dans le plan P. 238. VII.3. Preuve du Théorème de changement de variables P. 242. VII.4. Exercices P. 247. VIII. Séries de Fourier P. 247. VIII.1. Séries de Fourier des fonctions continues P. 253. VIII.2. Séries de Fourier des fonctions intégrables P. 253. VIII.2.1. Séries de Fourier des fonctions de L1 P. 254. VIII.2.2. Séries de Fourier des fonctions de L2 P. 256. VIII.3. Annexe : Rappel sur les espaces de Hilbert P. 256. VIII.3.1. Généralités P. 257. VIII.3.2. Orthogonalité P. 259. VIII.3.3. Bases orthonormées P. 262. VIII.4. Exercices P. 269. IX. Introduction aux Probabilités P. 269. IX.1. Généralités P. 269. IX.1.1. Espace de probabilité P. 270. IX.1.2. Variables aléatoires P. 271. IX.1.3. Loi d'une variable aléatoire P. 273. IX.1.4. Exemples de lois usuelles P. 278. IX.2. Indépendance P. 278. IX.2.1. Événements indépendants P. 279. IX.2.2. Variables aléatoires indépendantes P. 281. IX.2.3. Propriétés des v.a.r. indépendantes P. 283. IX.2.4. Somme de v.a.r. indépendantes P. 286. IX.2.5. Loi des grands nombres P. 288. IX.3. Complément : de l'intérêt de la notion de tribu P. 288. IX.3.1. Tribus indépendantes P. 290. IX.3.2. Tribu asymptotique P. 291. IX.3.3. Loi du 0 - 1 de Kolmogorov P. 294. IX.4. Exercices P. 305. X. Annexe P. 305. X.1. Construction de la mesure de Lebesgue P. 305. X.1.1. Mesure positive engendrée par une mesure extérieure P. 311. X.1.2. Théorème de prolongement P. 314. X.1.3. La mesure de Lebesgue sur R P. 319. X.1.4. Propriétés de la mesure de Lebesgue sur R P. 322. X.1.5. Mesure de Lebesgue sur Rd P. 322. X.2. Théorème de représentation de Riesz P. 322. X.2.1. Préliminaires topologiques P. 325. X.2.2. Énoncé du Théorème de représentation P. 326. X.2.3. Preuve de l'existence P. 333. X.2.4. Annexe : Preuve du Théorème d'Urysohn P. 335. XI. Corrigés des exercices P. 335. XI.1. Exercices du Chapitre I P. 345. XI.2. Exercices du Chapitre II P. 345. XI.2.1. Dénombrabilité P. 347. XI.2.2. Ensembles, applications mesurables P. 352. XI.2.3. Mesures positives P. 360. XI.3. Exercices du Chapitre III P. 367. XI.4. Exercices du Chapitre IV P. 371. XI.4.1. Théorème de convergence dominée P. 385. XI.4.2. Intégrales dépendant d'un paramètre P. 399. XI.5. Exercices du Chapitre V P. 417. XI.6. Exercices du Chapitre VI P. 440. XI.7. Exercices du Chapitre VII P. 454. XI.8. Exercices du Chapitre VIII P. 471. XI.9. Exercices du Chapitre IX P. 509. Liste des notations P. 511. Index terminologique Côte titre : Fs/19657

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