| Titre : | Utilisation du calcul tensoriel dans les géométries riemanniennes : cours et exercices corrigés |
| Auteurs : | Claude Jeanperrin |
| Type de document : | texte imprimé |
| Editeur : | Paris : Ellipses, 2000 |
| Collection : | Universités. Physique |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-7298-4915-3 |
| Format : | 1 vol. (224 p.) / ill., couv. ill. en coul. / 26 cm |
| Note générale : | Bibliogr. |
| Langues originales: | |
| Index. décimale : | 516.37 (Géométries différentielles métriques (géométrie euclidienne)) |
| Catégories : | |
| Mots-clés: | Riemann(Géométrie de) : Manuels d'enseignement supérieur |
| Résumé : |
Le passage de la " géométrie unique et universelle " (compilée par Euclide trois siècles avant J-C) à des géométries différentes mais tout aussi logiques, s'est fait sur un plan théorique notamment grâce aux travaux de Lobatchevski, Bolyai, et Riemann, au XIXe siècle. Ces chercheurs ne se doutaient pas que leur " construction de l'esprit " deviendrait un des outils de la révolution que la physique allait connaître un quart de siècle plus tard, notamment avec Einstein et la relativité générale. Ces nouvelles géométries " bizarres ", maintenant qualifiées de riemanniennes, entraient dans le domaine pratique et devenaient indispensables à l'étude cosmologique, puisque la géométrie euclidienne apparaissait comme une approximation locale non valable à l'échelle de l'Univers. Mais les géométries riemanniennes trouvent aussi des applications dans des domaines plus " terre à terre " comme l'optique des milieux continus, ou l'étude des surfaces courbes en ingénierie mécanique. Malheureusement, faute de temps et de place dans les programmes d'enseignement de la physique, leur étude est souvent escamotée, et les étudiants de ces disciplines doivent se contenter d'un " digest " de recettes à admettre, portant sur les notions fondamentales de courbure, de géodésiques et autres, lesquelles restent souvent bien floues dans les esprits. Le présent livre se propose alors de faire découvrir les particularités de ces géométries inhabituelles, à petites doses, de façon progressive, en essayant d'en faire apparaître le pourquoi, et en prenant garde aux généralisations trop hâtives, " allant de soi ", mais débouchant parfois sur des idées fausses. Un petit voyage est prévu, à ce propos, dans la fameuse " cinquième dimension ". Même si ces géométries sont nées sans faire appel à la notion de tenseur, le formalisme tensoriel s'est rapidement imposé comme outil particulièrement élégant et efficace au cours de leur développement. Il faut toutefois se rappeler que cette efficacité est en grande partie liée à l'ingéniosité d'un système de notation des indices, lié à leur variance (notation d'Einstein), dont l'usage n'est malheureusement pas encore partout entré dans les moeurs. Bien entendu, il en est fait systématiquement usage dans ce livre. Et la maîtrise d'un outil s'acquérant essentiellement par la pratique, des exercices, implicitement ou explicitement orientés vers les applications citées plus haut, ont été prévus à cet effet. |
| Note de contenu : |
Sommaire * Reformulation de la geometrie classique dans la langage tensoriel. Notion de métrique. Propriétés de tenseur métrique. * Le passage des geometries pseudo-euclidiennes. Deux exemples de géométries différentes. Espaces euclidiens et pseudo-euclidiens. Propriétés de la métrique d'un espace ponctuel pseudo-euclidien. Recherches de bases orthogonales. Normalisation d'une base orthogonale. Signature de l'espace R ou E. Réduction du produit scalaire à un sous-espace vectoriel. Expression des coefficients de Christoffel. * Les geometries riemanniennes. Les espaces ponctuels de Riemann. Essai de développement d'un espace de Riemann sur un espace pseudo-euclidien, notion de courbure. Les géodésiques dans un espace de Riemann. Variation d'un tenseur et intégration le long d'une courbe. * La cinquieme dimension : science-fiction ou realite ? Question philosophique, physique et mathématique. Formulation mathématique d'un problème. Les étapes de la Recherche. Détermination de X (n + 1). Détermination de Xi. Existence des solutions en fonction de n. |
| Côte titre : |
S8/60250-60253 |
Exemplaires (4)
| Cote | Support | Localisation | Disponibilité |
|---|---|---|---|
| S8/60250 | Livre | Bibliothèque centrale | Disponible |
| S8/60251 | Livre | Bibliothèque centrale | Disponible |
| S8/60252 | Livre | Bibliothèque centrale | Disponible |
| S8/60253 | Livre | Bibliothèque centrale | Disponible |
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