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Initiation à la géométrie de Rieman / François Rouvière
Titre : Initiation à la géométrie de Rieman Type de document : texte imprimé Auteurs : François Rouvière (1946-....), Auteur ; Alain Debreil, Collaborateur Editeur : Paris : Calvage & Mounet Année de publication : 2016 Collection : Mathématiques en devenir num. 115 Importance : 1 vol. (343 p.) Présentation : ill. Format : 24 cm ISBN/ISSN/EAN : 978-2-916352-49-7 Note générale : Bibliographie p. 335-339 Langues : Français (fre) Catégories : Mathématique Mots-clés : Géométrie de Riemann Index. décimale : 516.3 - Géométries analytiques Résumé :
L'ouvrage s'adresse aux étudiants du master de mathématiques et au-delà, ainsi qu'à tous ceux qui souhaitent s'initier à la géométrie de Riemann en vue de l'étude ultérieure de textes plus avancés, soit vers des développements mathématiques récents, soit vers l'utilisation en physique (relativité générale notamment). Les prérequis se limitent à une bonne familiarité avec le calcul différentiel, à quelques notions de topologie générale et aux premiers théorèmes généraux sur les équations différentielles.
La géométrie riemannienne est avant tout l'oeuvre de Cari Friedrich Gauss et de Bernhard Riemann, chacun de ces deux grands mathématiciens ajoutant une pierre fondatrice nouvelle au magnifique édifice. Ce chapitre mathématique est aussi la porte d'entrée vers toutes les théories qui tentent d'expliquer la géométrie et les lois de l'univers. L'auteur du présent livre, mathématicien, est aussi astronome amateur, enclin à s'intéresser aux questions qui intriguent et fascinent en la matière ses collègues et ses étudiants, entre autres l'expansion de l'univers et le big bang.
François Rouvière nous invite ici à un vrai voyage, que l'on accomplira avec lui sans quitter notre propre chambre.il nous apprend à marcher tout droit sur une surface,à bien regarder sous nos pieds, il nous montre comment éviter de tomber dans le golfe de Gênes, comment nous diriger malgré les inexactitudes de nos cartes (sans pour autant, bien sûr, brûler tous nos atlas), comment nous instruire dans le transport parallèle. Il nous explique à l'occasion quelques lois de l'optique, dont le secret des mirages.
Partant du cas intuitif et instructif des surfaces, dont l'étude occupe la première moitié du livre, et où l'on découvre les nombreux avatars de la courbure, le remarquable "Theorema Egregium" et la formule de Gauss-Bonnet, l'auteur nous fait entrer ensuite dans la dimension supérieure, nous apprend ce qu'est une variété, le flot d'un champ de vecteurs et nous prépare progressivement à accueillir sans peine la "miraculeuse" connexion riemannienne et, à partir de là, les géodésiques puis, dans leur sillage, l'application exponentielle en géométrie riemannienne et, en particulier, dans les groupes de Lie. La courbure apparaît enfin dans ce cadre élargi, et de deux manières, sous la forme du tenseur de Riemann.
Les exemples concrets sont les supports de la pensée et les espaces à courbure constante, qui possèdent beaucoup d'isométries, nous en offrent, aux côtés des espaces euclidiens, deux exemples encore plus beaux, en l'occurrence les espaces hyperboliques et ceux de la géométrie sphérique. Avec les pionniers Jànos Bolyai et Nikolaï Lobachevsky, avec Eugenio Beltrami, Félix Klein et sa boule, Henri Poincaré et sa propre boule à lui, Einstein et sa relativité générale, nous aurons comme compagnons de voyage une jet set très particulière.
Plus d'une cinquantaine d'exercices consistants, à la solution détaillée, sont là pour aller plus loin et soutenir notre compréhension par des exemples fondamentaux et variés.Note de contenu :
Sommaire :
1. Surfaces et géométrie de Gauss
I. Le ds² d'une suface
II. Géodésiques d'une surface
III. Courbure d'une surface
2. Variétés et géométrie de Riemann
IV. Notions de géométrie riemannienne
V. Espaces à courbure constante
VI. Solution des exercices
Côte titre : Fs/19608,Fs/23565-23566 Initiation à la géométrie de Rieman [texte imprimé] / François Rouvière (1946-....), Auteur ; Alain Debreil, Collaborateur . - Paris : Calvage & Mounet, 2016 . - 1 vol. (343 p.) : ill. ; 24 cm. - (Mathématiques en devenir; 115) .
ISBN : 978-2-916352-49-7
Bibliographie p. 335-339
Langues : Français (fre)
Catégories : Mathématique Mots-clés : Géométrie de Riemann Index. décimale : 516.3 - Géométries analytiques Résumé :
L'ouvrage s'adresse aux étudiants du master de mathématiques et au-delà, ainsi qu'à tous ceux qui souhaitent s'initier à la géométrie de Riemann en vue de l'étude ultérieure de textes plus avancés, soit vers des développements mathématiques récents, soit vers l'utilisation en physique (relativité générale notamment). Les prérequis se limitent à une bonne familiarité avec le calcul différentiel, à quelques notions de topologie générale et aux premiers théorèmes généraux sur les équations différentielles.
La géométrie riemannienne est avant tout l'oeuvre de Cari Friedrich Gauss et de Bernhard Riemann, chacun de ces deux grands mathématiciens ajoutant une pierre fondatrice nouvelle au magnifique édifice. Ce chapitre mathématique est aussi la porte d'entrée vers toutes les théories qui tentent d'expliquer la géométrie et les lois de l'univers. L'auteur du présent livre, mathématicien, est aussi astronome amateur, enclin à s'intéresser aux questions qui intriguent et fascinent en la matière ses collègues et ses étudiants, entre autres l'expansion de l'univers et le big bang.
François Rouvière nous invite ici à un vrai voyage, que l'on accomplira avec lui sans quitter notre propre chambre.il nous apprend à marcher tout droit sur une surface,à bien regarder sous nos pieds, il nous montre comment éviter de tomber dans le golfe de Gênes, comment nous diriger malgré les inexactitudes de nos cartes (sans pour autant, bien sûr, brûler tous nos atlas), comment nous instruire dans le transport parallèle. Il nous explique à l'occasion quelques lois de l'optique, dont le secret des mirages.
Partant du cas intuitif et instructif des surfaces, dont l'étude occupe la première moitié du livre, et où l'on découvre les nombreux avatars de la courbure, le remarquable "Theorema Egregium" et la formule de Gauss-Bonnet, l'auteur nous fait entrer ensuite dans la dimension supérieure, nous apprend ce qu'est une variété, le flot d'un champ de vecteurs et nous prépare progressivement à accueillir sans peine la "miraculeuse" connexion riemannienne et, à partir de là, les géodésiques puis, dans leur sillage, l'application exponentielle en géométrie riemannienne et, en particulier, dans les groupes de Lie. La courbure apparaît enfin dans ce cadre élargi, et de deux manières, sous la forme du tenseur de Riemann.
Les exemples concrets sont les supports de la pensée et les espaces à courbure constante, qui possèdent beaucoup d'isométries, nous en offrent, aux côtés des espaces euclidiens, deux exemples encore plus beaux, en l'occurrence les espaces hyperboliques et ceux de la géométrie sphérique. Avec les pionniers Jànos Bolyai et Nikolaï Lobachevsky, avec Eugenio Beltrami, Félix Klein et sa boule, Henri Poincaré et sa propre boule à lui, Einstein et sa relativité générale, nous aurons comme compagnons de voyage une jet set très particulière.
Plus d'une cinquantaine d'exercices consistants, à la solution détaillée, sont là pour aller plus loin et soutenir notre compréhension par des exemples fondamentaux et variés.Note de contenu :
Sommaire :
1. Surfaces et géométrie de Gauss
I. Le ds² d'une suface
II. Géodésiques d'une surface
III. Courbure d'une surface
2. Variétés et géométrie de Riemann
IV. Notions de géométrie riemannienne
V. Espaces à courbure constante
VI. Solution des exercices
Côte titre : Fs/19608,Fs/23565-23566 Exemplaires (3)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité Fs/19608 Fs/19608 Livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleFs/23565 Fs/23565-23566 livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleFs/23566 Fs/23565-23566 livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleRiemannian geometry / Sylvestre Gallot
Titre : Riemannian geometry Type de document : texte imprimé Auteurs : Sylvestre Gallot (1948-....), Auteur ; Dominique Hulin (1959-....), Auteur ; Jacques Lafontaine (1944-....), Auteur Mention d'édition : 3e éd. Editeur : Berlin : Springer Année de publication : 2004 Collection : Universitext (Berlin. Print), ISSN 0172-5939 Importance : 1 vol. (322 p.) Présentation : fig. Format : 24 cm ISBN/ISSN/EAN : 978-3-540-20493-0 Langues : Anglais (eng) Catégories : Mathématique Mots-clés : Géométrie de Riemann Index. décimale : 516.3 Géométries analytiques Résumé :
Ce livre, basé sur un cours de troisième cycle sur la géométrie riemannienne et l'analyse des variétés, tenu à Paris, aborde les thèmes des variétés différentielles, les métriques riemanniennes, les connexions, la géodésique et la courbure, en mettant l'accent sur les caractéristiques intrinsèques du sujet. Les résultats classiques sur les relations entre courbure et topologie sont traités en détail. Le livre est assez autonome, en supposant que le lecteur utilise uniquement le calcul différentiel dans l'espace euclidien. Il contient de nombreux exercices avec des solutions complètes et une série d’exemples détaillés qui sont choisis de manière répétée pour illustrer chaque nouvelle définition ou propriété introduite.Pour cette troisième édition, des thèmes relatifs au flux géodésique et à la géométrie lorentzienne ont été ajoutés et précisés dans le même esprit.Note de contenu :
Sommaire
1 Differential manifolds.
- 1.A From submanifolds to abstract manifolds.-
1.A.1 Submanifolds of Euclidean spaces.- 1.A.2 Abstract manifolds.- 1.A.3 Smooth maps.
- 1.B The tangent bundle.- 1.B.1 Tangent space to a submanifold of Rn+k.- 1.B.2 The manifold of tangent vectors.- 1.B.3 Vector bundles.- 1.B.4 Tangent map.
- 1.C Vector fields.- 1.C.1 Definitions.- 1.C.2 Another definition for the tangent space.- 1.C.3 Integral curves and flow of a vector field.- 1.C.4 Image of a vector field by a diffeomorphism.
- 1.D Baby Lie groups.- 1.D.1 Definitions.- 1.D.2 Adjoint representation.
- 1.E Covering maps and fibrations.- 1.E.1 Covering maps and quotients by a discrete group.- 1.E.2 Submersions and fibrations.- 1.E.3 Homogeneous spaces.
- 1.F Tensors.- 1.F.1 Tensor product (a digest).- 1.F.2 Tensor bundles.- 1.F.3 Operations on tensors.- 1.F.4 Lie derivatives.- 1.F.5 Local operators, differential operators.- 1.F.6 A characterization for tensors.
- 1.G. Differential forms.- 1.G.1 Definitions.- 1.G.2 Exterior derivative.- 1.G.3 Volume forms.- 1.G.4 Integration on an oriented manifold.- 1.G.5 Haar measure on a Lie group.
- 1.H Partitions of unity.
- 2 Riemannian metrics.
- 2.A Existence theorems and first examples.- 2.A.1 Basic definitions.- 2.A.2 Submanifolds of Euclidean or Minkowski spaces.- 2.A.3 Riemannian submanifolds, Riemannian products.- 2.A.4 Riemannian covering maps, flat tori.- 2.A.5 Riemannian submersions, complex projective space.- 2.A.6 Homogeneous Riemannian spaces.
- 2.B Covariant derivative.- 2.B.1 Connections.- 2.B.2 Canonical connection of a Riemannian submanifold.- 2.B.3 Extension of the covariant derivative to tensors.- 2.B.4 Covariant derivative along a curve.- 2.B.5 Parallel transport.- 2.B.6 natural metric on the tangent bundle.
- 2.C Geodesies.- 2.C.1 Definition, first examples.- 2.C.2 Local existence and uniqueness for geodesies, exponential map.- 2.C.3 Riemannian manifolds as metric spaces.- 2.C.4 An invitation to isosystolic inequalities.- 2.C.5 Complete Riemannian manifolds, Hopf-Rinow theorem.- 2.C.6 Geodesies and submersions, geodesies of PnC.- 2.C.7 Cut-locus.- 2.C.8 The geodesic flow.
- 2.D A glance at pseudo-Riemannian manifolds.- 2.D.1 What remains true?.- 2.D.2 Space, time and light-like curves.- 2.D.3 Lorentzian analogs of Euclidean spaces, spheres and hegeode spaces.- 2.D.4 (In)completeness.- 2.D.5 The Schwarzschild model.- 2.D.6 Hyperbolicity versus ellipticity.
- 3 Curvature.
- 3.A. The curvature tensor.- 3.A.1 Second covariant derivative.- 3.A.2 Algebraic properties of the curvature tensor.- 3.A.3 Computation of curvature: some examples.- 3.A.4 Ricci curvature, scalar curvature.
- 3.B. First and second variation.- 3.B.1 Technical preliminaries.- 3.B.2 First variation formula.- 3.B.3 Second variation formula.
- 3.C. Jacobi vector fields.- 3.C.1 Basic topics about second derivatives.- 3.C.2 Index form.- 3.C.3 Jacobi fields and exponential map.- 3.C.4 Applications.
- 3.D. Riemannian submersions and curvature.- 3.D.1 Riemannian submersions and connections.- 3.D.2 Jacobi fields of PnC.- 3.D.3 O’Neill’s formula.- 3.D.4 Curvature and length of small circles. Application to Riemannian submersions.
- 3.E. The behavior of length and energy in the neighborhood of a geodesic.- 3.E.1 Gauss lemma.- 3.E.2 Conjugate points.- 3.E.3 Some properties of the cut-locus.
- 3.F Manifolds with constant sectional curvature.
- 3.G Topology and curvature: two basic results.- 3.G.1 Myers’ theorem.- 3.G.2 Cartan-Hadamard’s theorem.
- 3.H. Curvature and volume.- 3.H.1 Densities on a differentiable manifold.- 3.H.2 Canonical measure of a Riemannian manifold.- 3.H.3 Examples: spheres, hyperbolic spaces, complex projective spaces.- 3.H.4 Small balls and scalar curvature.- 3.H.5 Volume estimates.
- 3.I. Curvature and growth of the fundamental group.- 3.I.1 Growth of finite type groups.- 3.I.2 Growth of the fundamental group of compact manifolds with negative curvature
.- 3.J. Curvature and topology: some important results.- 3.J.1 Integral formulas.- 3.J.2 (Geo)metric methods.- 3.J.3 Analytic methods.- 3.J.4 Coarse point of view: compactness theorems.
- 3.K. Curvature tensors and representations of the orthogonal group.- 3.K.1 Decomposition of the space of curvature tensors.- 3.K.2 Conformally flat manifolds.- 3.K.3 The Second Bianchi identity.
- 3.L. Hyperbolic geometry.- 3.L.1 Introduction.- 3.L.2 Angles and distances in the hyperbolic plane.- 3.L.3 Polygons with “many” right angles.- 3.L.4 Compact surfaces.- 3.L.5 Hyperbolic trigonometry.- 3.L.6 Prescribing constant negative curvature.- 3.L.7 A few words about higher dimension.
- 3.M. Conformai geometry.- 3.M.2 Introduction.- 3.M.3 The Möbius group.- 3.M.4 Conformai, elliptic and hyperbolic geometry.
- 4 Analysis on manifolds.
- 4.A. Manifolds with boundary.- 4.A.1 Introduction.- 4.A.2 Stokes theorem and integration by parts.
- 4.B. Bishop inequality.- 4.B.1 Some commutation formulas.- 4.B.2 Laplacian of the distance function.- 4.B.3 Another proof of Bishop’s inequality.- 4.B.4 Heintze-Karcher inequality.
- 4.C. Differential forms and cohomology.- 4.C.1 The de Rham complex.- 4.C.2 Differential operators and their formal adjoints.- 4.C.3 The Hodge-de Rham theorem.- 4.C.4 A second visit to the Bochner method.
- 4.D. Basic spectral geometry.- 4.D.1 The Laplace operator and the wave equation.- 4.D.2 Statement of basic results on the spectrum.
- 4.E. Some examples of spectra.- 4.E.1 Introduction.- 4.E.2 The spectrum of flat tori.- 4.E.3 Spectrum of (Sn, can).
- 4.F The minimax principle.
- 4.G Eigenvalues estimates.- 4.G.1 Introduction.- 4.G.2 Bishop’s inequality and coarse estimates.- 4.G.3 Some consequences of Bishop’s theorem.- 4.G.4 Lower bounds for the first eigenvalue.
- 4.H. Paul Levy’s isoperimetric inequality.- 4.H.1 The statement.- 4.H.2 The proof.
- 5 Riemannian submanifolds.
- 5.A. Curvature of submanifolds.- 5.A.1 Second fundamental form.- 5.A.2 Curvature of hypersurfaces.- 5.A.3 Application to explicit computations of curvatures.
- 5.B Curvature and convexity.
- 5.C Minimal surfaces.- 5.C.1 First results.- 5.C.2 Surfaces with constant mean curvature.
- A Some extra problems.
- B Solutions of exercises.
- List of figures.Côte titre : Fs/2697-2698 Riemannian geometry [texte imprimé] / Sylvestre Gallot (1948-....), Auteur ; Dominique Hulin (1959-....), Auteur ; Jacques Lafontaine (1944-....), Auteur . - 3e éd. . - Berlin : Springer, 2004 . - 1 vol. (322 p.) : fig. ; 24 cm. - (Universitext (Berlin. Print), ISSN 0172-5939) .
ISBN : 978-3-540-20493-0
Langues : Anglais (eng)
Catégories : Mathématique Mots-clés : Géométrie de Riemann Index. décimale : 516.3 Géométries analytiques Résumé :
Ce livre, basé sur un cours de troisième cycle sur la géométrie riemannienne et l'analyse des variétés, tenu à Paris, aborde les thèmes des variétés différentielles, les métriques riemanniennes, les connexions, la géodésique et la courbure, en mettant l'accent sur les caractéristiques intrinsèques du sujet. Les résultats classiques sur les relations entre courbure et topologie sont traités en détail. Le livre est assez autonome, en supposant que le lecteur utilise uniquement le calcul différentiel dans l'espace euclidien. Il contient de nombreux exercices avec des solutions complètes et une série d’exemples détaillés qui sont choisis de manière répétée pour illustrer chaque nouvelle définition ou propriété introduite.Pour cette troisième édition, des thèmes relatifs au flux géodésique et à la géométrie lorentzienne ont été ajoutés et précisés dans le même esprit.Note de contenu :
Sommaire
1 Differential manifolds.
- 1.A From submanifolds to abstract manifolds.-
1.A.1 Submanifolds of Euclidean spaces.- 1.A.2 Abstract manifolds.- 1.A.3 Smooth maps.
- 1.B The tangent bundle.- 1.B.1 Tangent space to a submanifold of Rn+k.- 1.B.2 The manifold of tangent vectors.- 1.B.3 Vector bundles.- 1.B.4 Tangent map.
- 1.C Vector fields.- 1.C.1 Definitions.- 1.C.2 Another definition for the tangent space.- 1.C.3 Integral curves and flow of a vector field.- 1.C.4 Image of a vector field by a diffeomorphism.
- 1.D Baby Lie groups.- 1.D.1 Definitions.- 1.D.2 Adjoint representation.
- 1.E Covering maps and fibrations.- 1.E.1 Covering maps and quotients by a discrete group.- 1.E.2 Submersions and fibrations.- 1.E.3 Homogeneous spaces.
- 1.F Tensors.- 1.F.1 Tensor product (a digest).- 1.F.2 Tensor bundles.- 1.F.3 Operations on tensors.- 1.F.4 Lie derivatives.- 1.F.5 Local operators, differential operators.- 1.F.6 A characterization for tensors.
- 1.G. Differential forms.- 1.G.1 Definitions.- 1.G.2 Exterior derivative.- 1.G.3 Volume forms.- 1.G.4 Integration on an oriented manifold.- 1.G.5 Haar measure on a Lie group.
- 1.H Partitions of unity.
- 2 Riemannian metrics.
- 2.A Existence theorems and first examples.- 2.A.1 Basic definitions.- 2.A.2 Submanifolds of Euclidean or Minkowski spaces.- 2.A.3 Riemannian submanifolds, Riemannian products.- 2.A.4 Riemannian covering maps, flat tori.- 2.A.5 Riemannian submersions, complex projective space.- 2.A.6 Homogeneous Riemannian spaces.
- 2.B Covariant derivative.- 2.B.1 Connections.- 2.B.2 Canonical connection of a Riemannian submanifold.- 2.B.3 Extension of the covariant derivative to tensors.- 2.B.4 Covariant derivative along a curve.- 2.B.5 Parallel transport.- 2.B.6 natural metric on the tangent bundle.
- 2.C Geodesies.- 2.C.1 Definition, first examples.- 2.C.2 Local existence and uniqueness for geodesies, exponential map.- 2.C.3 Riemannian manifolds as metric spaces.- 2.C.4 An invitation to isosystolic inequalities.- 2.C.5 Complete Riemannian manifolds, Hopf-Rinow theorem.- 2.C.6 Geodesies and submersions, geodesies of PnC.- 2.C.7 Cut-locus.- 2.C.8 The geodesic flow.
- 2.D A glance at pseudo-Riemannian manifolds.- 2.D.1 What remains true?.- 2.D.2 Space, time and light-like curves.- 2.D.3 Lorentzian analogs of Euclidean spaces, spheres and hegeode spaces.- 2.D.4 (In)completeness.- 2.D.5 The Schwarzschild model.- 2.D.6 Hyperbolicity versus ellipticity.
- 3 Curvature.
- 3.A. The curvature tensor.- 3.A.1 Second covariant derivative.- 3.A.2 Algebraic properties of the curvature tensor.- 3.A.3 Computation of curvature: some examples.- 3.A.4 Ricci curvature, scalar curvature.
- 3.B. First and second variation.- 3.B.1 Technical preliminaries.- 3.B.2 First variation formula.- 3.B.3 Second variation formula.
- 3.C. Jacobi vector fields.- 3.C.1 Basic topics about second derivatives.- 3.C.2 Index form.- 3.C.3 Jacobi fields and exponential map.- 3.C.4 Applications.
- 3.D. Riemannian submersions and curvature.- 3.D.1 Riemannian submersions and connections.- 3.D.2 Jacobi fields of PnC.- 3.D.3 O’Neill’s formula.- 3.D.4 Curvature and length of small circles. Application to Riemannian submersions.
- 3.E. The behavior of length and energy in the neighborhood of a geodesic.- 3.E.1 Gauss lemma.- 3.E.2 Conjugate points.- 3.E.3 Some properties of the cut-locus.
- 3.F Manifolds with constant sectional curvature.
- 3.G Topology and curvature: two basic results.- 3.G.1 Myers’ theorem.- 3.G.2 Cartan-Hadamard’s theorem.
- 3.H. Curvature and volume.- 3.H.1 Densities on a differentiable manifold.- 3.H.2 Canonical measure of a Riemannian manifold.- 3.H.3 Examples: spheres, hyperbolic spaces, complex projective spaces.- 3.H.4 Small balls and scalar curvature.- 3.H.5 Volume estimates.
- 3.I. Curvature and growth of the fundamental group.- 3.I.1 Growth of finite type groups.- 3.I.2 Growth of the fundamental group of compact manifolds with negative curvature
.- 3.J. Curvature and topology: some important results.- 3.J.1 Integral formulas.- 3.J.2 (Geo)metric methods.- 3.J.3 Analytic methods.- 3.J.4 Coarse point of view: compactness theorems.
- 3.K. Curvature tensors and representations of the orthogonal group.- 3.K.1 Decomposition of the space of curvature tensors.- 3.K.2 Conformally flat manifolds.- 3.K.3 The Second Bianchi identity.
- 3.L. Hyperbolic geometry.- 3.L.1 Introduction.- 3.L.2 Angles and distances in the hyperbolic plane.- 3.L.3 Polygons with “many” right angles.- 3.L.4 Compact surfaces.- 3.L.5 Hyperbolic trigonometry.- 3.L.6 Prescribing constant negative curvature.- 3.L.7 A few words about higher dimension.
- 3.M. Conformai geometry.- 3.M.2 Introduction.- 3.M.3 The Möbius group.- 3.M.4 Conformai, elliptic and hyperbolic geometry.
- 4 Analysis on manifolds.
- 4.A. Manifolds with boundary.- 4.A.1 Introduction.- 4.A.2 Stokes theorem and integration by parts.
- 4.B. Bishop inequality.- 4.B.1 Some commutation formulas.- 4.B.2 Laplacian of the distance function.- 4.B.3 Another proof of Bishop’s inequality.- 4.B.4 Heintze-Karcher inequality.
- 4.C. Differential forms and cohomology.- 4.C.1 The de Rham complex.- 4.C.2 Differential operators and their formal adjoints.- 4.C.3 The Hodge-de Rham theorem.- 4.C.4 A second visit to the Bochner method.
- 4.D. Basic spectral geometry.- 4.D.1 The Laplace operator and the wave equation.- 4.D.2 Statement of basic results on the spectrum.
- 4.E. Some examples of spectra.- 4.E.1 Introduction.- 4.E.2 The spectrum of flat tori.- 4.E.3 Spectrum of (Sn, can).
- 4.F The minimax principle.
- 4.G Eigenvalues estimates.- 4.G.1 Introduction.- 4.G.2 Bishop’s inequality and coarse estimates.- 4.G.3 Some consequences of Bishop’s theorem.- 4.G.4 Lower bounds for the first eigenvalue.
- 4.H. Paul Levy’s isoperimetric inequality.- 4.H.1 The statement.- 4.H.2 The proof.
- 5 Riemannian submanifolds.
- 5.A. Curvature of submanifolds.- 5.A.1 Second fundamental form.- 5.A.2 Curvature of hypersurfaces.- 5.A.3 Application to explicit computations of curvatures.
- 5.B Curvature and convexity.
- 5.C Minimal surfaces.- 5.C.1 First results.- 5.C.2 Surfaces with constant mean curvature.
- A Some extra problems.
- B Solutions of exercises.
- List of figures.Côte titre : Fs/2697-2698 Exemplaires (2)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité Fs/2697 Fs/2697-2698 Livre Bibliothéque des sciences Anglais Disponible
DisponibleFs/2698 Fs/2697-2698 Livre Bibliothéque des sciences Anglais Disponible
Disponible