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Auteur Jacques Lafontaine (1944-....)
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Introduction aux variétés différentielles / Jacques Lafontaine
Titre : Introduction aux variétés différentielles Type de document : texte imprimé Auteurs : Jacques Lafontaine (1944-....), Auteur Mention d'édition : [Nouvelle édition] Editeur : Grenoble : Presses universitaires de Grenoble Année de publication : 1996, impr. 1998 Autre Editeur : EDP sciences Collection : Collection Grenoble sciences Importance : 1 vol. (299 p.) Présentation : ill., couv. ill. en coul Format : 25 cm ISBN/ISSN/EAN : 978-2-7061-0654-5 Catégories : Mathématique Mots-clés : Variétés différentiables
Variétés (mathématiques)
Géométrie différentielle
Calcul différentielIndex. décimale : 510 Mathématique Résumé :
L'ouvrage est, comme son titre l'indique, une introduction à la géométrie différentielle. Le prérequis nécessaire est le calcul différentiel dans les espaces euclidiens.
Sont abordées les principales notions de base de la géométrie différentielle : variétés différentielles, espaces tangent et cotangent, champs de vecteurs, formes différentielles. De nombreux exemples sont traités en détail. Cet ensemble de base permet une introduction aux groupes de Lie et une illustration par les éléments de théorie du degré et de cohomologie.
Introduction aux variétés différentielles a pour objectif d'être un ouvrage de base et propose également des exercices très classiques pour l'étudiant et le débutant en la matière, d'autres plus délicats pour l'enseignant, le chercheur ou l'étudiant de niveau plus avancé. Les solutions d'un bon nombre d'entre eux sont données en fin de volume.
Destiné aux étudiants de maîtrise ou de DEA de mathématiques ainsi qu'à ceux qui préparent l'agrégation, cet ouvrage intéresse évidemment leurs enseignants et les professeurs des lycées et des classes préparatoires aux grandes écoles. Les physiciens, eux aussi, sont concernés.Note de contenu :
Sommaire
Calcul différentiel
Différentielles
Théorème des fonctions composées
Théorème d'inversion locale
Sous-variétés
Application aux sous-groupes du groupe linéaire
Points critiques ; valeurs critiques
Commentaires Exercices
Notions de base sur les variétés
Cartes, atlas
Applications différentiables ; difféomorphismes
Le théorème de d'Alembert
Les espaces projectifs
L'espace ve
Dénombrabilité à l'infini
Commentaires
Exercices
Du local au global
Fonctions plateau ; plongements de variétés
Dérivations
Image d'un champ de vecteurs ; crochet
Le fibre tangent
Le flot d'un champ de vecteurs
Champs de vecteurs dépendant du temps
Variétés de dimension un
Commentaires
Exercices
Autour des groupes de Lie
Champs invariants à gauche
L'algèbre de Lie d'un groupe de Lie
Digression sur les groupes topologiques
Groupes de Lie commutatifs
Espaces homogènes
Commentaires
Exercices
Formes différentielles
Algèbre tensorielle
Formes différentielles sur un ouvert de l'espace euclidien
Différentielle des formes
Produit intérieur, dérivée de Lie
Le lemme de Poincaré
Formes différentielles sur les variétés
Equations de Maxwell
Commentaires
Exercices
Intégration et applications
Orientation : des espaces vectoriels aux variétés
Intégration sur une variété; application aux champs de vecteurs sur les sphères
Théorème de Stokes
Forme volume canonique d'une sous-variété de l'espace euclidien
Le théorème du point fixe de Brouwer
Commentaires
Exercices
Cohomologie et théorie du degré
Cohomologie de de Rham
Cohomologie en degré maximum
Degré d'une application
Retour sur le théorème de d'Alembert
Enlacement de deux courbes de l'espace euclidien de dimension trois
Invariance par homotopie
Suite exacte de Mayer-Vietoris
Méthodes intégrales
Commentaires
Exercices
Solutions d'exercices et indicationsIntroduction aux variétés différentielles [texte imprimé] / Jacques Lafontaine (1944-....), Auteur . - [Nouvelle édition] . - Grenoble : Presses universitaires de Grenoble : [S.l.] : EDP sciences, 1996, impr. 1998 . - 1 vol. (299 p.) : ill., couv. ill. en coul ; 25 cm. - (Collection Grenoble sciences) .
ISBN : 978-2-7061-0654-5
Catégories : Mathématique Mots-clés : Variétés différentiables
Variétés (mathématiques)
Géométrie différentielle
Calcul différentielIndex. décimale : 510 Mathématique Résumé :
L'ouvrage est, comme son titre l'indique, une introduction à la géométrie différentielle. Le prérequis nécessaire est le calcul différentiel dans les espaces euclidiens.
Sont abordées les principales notions de base de la géométrie différentielle : variétés différentielles, espaces tangent et cotangent, champs de vecteurs, formes différentielles. De nombreux exemples sont traités en détail. Cet ensemble de base permet une introduction aux groupes de Lie et une illustration par les éléments de théorie du degré et de cohomologie.
Introduction aux variétés différentielles a pour objectif d'être un ouvrage de base et propose également des exercices très classiques pour l'étudiant et le débutant en la matière, d'autres plus délicats pour l'enseignant, le chercheur ou l'étudiant de niveau plus avancé. Les solutions d'un bon nombre d'entre eux sont données en fin de volume.
Destiné aux étudiants de maîtrise ou de DEA de mathématiques ainsi qu'à ceux qui préparent l'agrégation, cet ouvrage intéresse évidemment leurs enseignants et les professeurs des lycées et des classes préparatoires aux grandes écoles. Les physiciens, eux aussi, sont concernés.Note de contenu :
Sommaire
Calcul différentiel
Différentielles
Théorème des fonctions composées
Théorème d'inversion locale
Sous-variétés
Application aux sous-groupes du groupe linéaire
Points critiques ; valeurs critiques
Commentaires Exercices
Notions de base sur les variétés
Cartes, atlas
Applications différentiables ; difféomorphismes
Le théorème de d'Alembert
Les espaces projectifs
L'espace ve
Dénombrabilité à l'infini
Commentaires
Exercices
Du local au global
Fonctions plateau ; plongements de variétés
Dérivations
Image d'un champ de vecteurs ; crochet
Le fibre tangent
Le flot d'un champ de vecteurs
Champs de vecteurs dépendant du temps
Variétés de dimension un
Commentaires
Exercices
Autour des groupes de Lie
Champs invariants à gauche
L'algèbre de Lie d'un groupe de Lie
Digression sur les groupes topologiques
Groupes de Lie commutatifs
Espaces homogènes
Commentaires
Exercices
Formes différentielles
Algèbre tensorielle
Formes différentielles sur un ouvert de l'espace euclidien
Différentielle des formes
Produit intérieur, dérivée de Lie
Le lemme de Poincaré
Formes différentielles sur les variétés
Equations de Maxwell
Commentaires
Exercices
Intégration et applications
Orientation : des espaces vectoriels aux variétés
Intégration sur une variété; application aux champs de vecteurs sur les sphères
Théorème de Stokes
Forme volume canonique d'une sous-variété de l'espace euclidien
Le théorème du point fixe de Brouwer
Commentaires
Exercices
Cohomologie et théorie du degré
Cohomologie de de Rham
Cohomologie en degré maximum
Degré d'une application
Retour sur le théorème de d'Alembert
Enlacement de deux courbes de l'espace euclidien de dimension trois
Invariance par homotopie
Suite exacte de Mayer-Vietoris
Méthodes intégrales
Commentaires
Exercices
Solutions d'exercices et indicationsExemplaires (3)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité Fs/0489 Fs/0487-0489 Livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleFs/0487 Fs/0487-0489 Livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleFs/0488 Fs/0487-0489 Livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleIntroduction aux variétés différentielles / Jacques Lafontaine
Titre : Introduction aux variétés différentielles Type de document : texte imprimé Auteurs : Jacques Lafontaine (1944-....), Auteur Mention d'édition : Nouvelle éd. Editeur : Les Ulis : EDP sciences Année de publication : 2010 Collection : Collection Grenoble sciences, ISSN 0767-371X Importance : 1 vol. (369 p.) Présentation : ill., couv. ill. en coul. Format : 25 cm ISBN/ISSN/EAN : 978-2-7598-0572-3 Note générale : Le livre contient une adresse Internet permettant l'accès à un contenu complémentaire
Bibliogr. p. 361-366. IndexLangues : Français (fre) Catégories : Mathématique Mots-clés : Variétés différentiables
Variétés (mathématiques)
Géométrie différentielle
Calcul différentielIndex. décimale : 516.36 - Géométrie différentielle, géométrie intégrale Résumé :
L'ouvrage est une initiation aux variétés différentielles, préalable à des enseignements plus spécialisés. Le lecteur devra posséder une compétence sur le calcul différentiel dans les espaces euclidiens. Sont abordées les principales notions de géométrie différentielle : variétés différentielles, espaces tangent et cotangent, champs de vecteurs, formes différentielles. De nombreux exemples sont traités en détail. Cet ensemble constitue une introduction aux groupes de Lie. II est illustré par les éléments de théorie du degré et de cohomologie. Introduction aux variétés différentielles a pour objectif d'être un ouvrage de base. II propose des exercices classiques pour l'étudiant et le débutant en la matière, d'autres plus délicats pour l'enseignant, le chercheur ou l'étudiant de niveau plus avancé. Les solutions d'un bon nombre d'entre eux sont données en fin de volume. Le succès de la première édition, notamment auprès des étudiants, a motivé les améliorations de cette édition. Un chapitre nouveau est proposé sur les caractéristiques d'Euler-Poincaré et le théorème de Gauss-Bonnet. Cet ouvrage est un pap-ebook : un site web corrélé propose des compléments et des annexes. Le lecteur peut ainsi s'appuyer sur des rappels, des exercices, des approfondissements sur le site compagnon présenté au début du livre. Destiné aux étudiants de master et des préparations à l'agrégation, aux universitaires, aux professeurs des lycées et des classes préparatoires. Les physiciens sont également concernés.Note de contenu :
Sommaire
Calcul différentiel
Notions de base sur les variétés
Du local au global
Autour des groupes de lie
Formes différentielles
Intégration et applications
Cohomoligie et théorie du degré
Caractéstique d'euler poincaré et théorème de gauss bonnetCôte titre : Fs/8993-8996,Fs/7801-7803 Introduction aux variétés différentielles [texte imprimé] / Jacques Lafontaine (1944-....), Auteur . - Nouvelle éd. . - Les Ulis : EDP sciences, 2010 . - 1 vol. (369 p.) : ill., couv. ill. en coul. ; 25 cm. - (Collection Grenoble sciences, ISSN 0767-371X) .
ISBN : 978-2-7598-0572-3
Le livre contient une adresse Internet permettant l'accès à un contenu complémentaire
Bibliogr. p. 361-366. Index
Langues : Français (fre)
Catégories : Mathématique Mots-clés : Variétés différentiables
Variétés (mathématiques)
Géométrie différentielle
Calcul différentielIndex. décimale : 516.36 - Géométrie différentielle, géométrie intégrale Résumé :
L'ouvrage est une initiation aux variétés différentielles, préalable à des enseignements plus spécialisés. Le lecteur devra posséder une compétence sur le calcul différentiel dans les espaces euclidiens. Sont abordées les principales notions de géométrie différentielle : variétés différentielles, espaces tangent et cotangent, champs de vecteurs, formes différentielles. De nombreux exemples sont traités en détail. Cet ensemble constitue une introduction aux groupes de Lie. II est illustré par les éléments de théorie du degré et de cohomologie. Introduction aux variétés différentielles a pour objectif d'être un ouvrage de base. II propose des exercices classiques pour l'étudiant et le débutant en la matière, d'autres plus délicats pour l'enseignant, le chercheur ou l'étudiant de niveau plus avancé. Les solutions d'un bon nombre d'entre eux sont données en fin de volume. Le succès de la première édition, notamment auprès des étudiants, a motivé les améliorations de cette édition. Un chapitre nouveau est proposé sur les caractéristiques d'Euler-Poincaré et le théorème de Gauss-Bonnet. Cet ouvrage est un pap-ebook : un site web corrélé propose des compléments et des annexes. Le lecteur peut ainsi s'appuyer sur des rappels, des exercices, des approfondissements sur le site compagnon présenté au début du livre. Destiné aux étudiants de master et des préparations à l'agrégation, aux universitaires, aux professeurs des lycées et des classes préparatoires. Les physiciens sont également concernés.Note de contenu :
Sommaire
Calcul différentiel
Notions de base sur les variétés
Du local au global
Autour des groupes de lie
Formes différentielles
Intégration et applications
Cohomoligie et théorie du degré
Caractéstique d'euler poincaré et théorème de gauss bonnetCôte titre : Fs/8993-8996,Fs/7801-7803 Exemplaires (7)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité Fs/7801 Fs/7801-7803 livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleFs/7802 Fs/7801-7803 livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleFs/7803 Fs/7801-7803 livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleFs/8993 Fs/8993-8996 livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleFs/8994 Fs/8993-8996 livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleFs/8995 Fs/8993-8996 livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleFs/8996 Fs/8993-8996 livre Bibliothéque des sciences Français Disponible
DisponibleRiemannian geometry / Sylvestre Gallot
Titre : Riemannian geometry Type de document : texte imprimé Auteurs : Sylvestre Gallot (1948-....), Auteur ; Dominique Hulin (1959-....), Auteur ; Jacques Lafontaine (1944-....), Auteur Mention d'édition : 3e éd. Editeur : Berlin : Springer Année de publication : 2004 Collection : Universitext (Berlin. Print), ISSN 0172-5939 Importance : 1 vol. (322 p.) Présentation : fig. Format : 24 cm ISBN/ISSN/EAN : 978-3-540-20493-0 Langues : Anglais (eng) Catégories : Mathématique Mots-clés : Géométrie de Riemann Index. décimale : 516.3 Géométries analytiques Résumé :
Ce livre, basé sur un cours de troisième cycle sur la géométrie riemannienne et l'analyse des variétés, tenu à Paris, aborde les thèmes des variétés différentielles, les métriques riemanniennes, les connexions, la géodésique et la courbure, en mettant l'accent sur les caractéristiques intrinsèques du sujet. Les résultats classiques sur les relations entre courbure et topologie sont traités en détail. Le livre est assez autonome, en supposant que le lecteur utilise uniquement le calcul différentiel dans l'espace euclidien. Il contient de nombreux exercices avec des solutions complètes et une série d’exemples détaillés qui sont choisis de manière répétée pour illustrer chaque nouvelle définition ou propriété introduite.Pour cette troisième édition, des thèmes relatifs au flux géodésique et à la géométrie lorentzienne ont été ajoutés et précisés dans le même esprit.Note de contenu :
Sommaire
1 Differential manifolds.
- 1.A From submanifolds to abstract manifolds.-
1.A.1 Submanifolds of Euclidean spaces.- 1.A.2 Abstract manifolds.- 1.A.3 Smooth maps.
- 1.B The tangent bundle.- 1.B.1 Tangent space to a submanifold of Rn+k.- 1.B.2 The manifold of tangent vectors.- 1.B.3 Vector bundles.- 1.B.4 Tangent map.
- 1.C Vector fields.- 1.C.1 Definitions.- 1.C.2 Another definition for the tangent space.- 1.C.3 Integral curves and flow of a vector field.- 1.C.4 Image of a vector field by a diffeomorphism.
- 1.D Baby Lie groups.- 1.D.1 Definitions.- 1.D.2 Adjoint representation.
- 1.E Covering maps and fibrations.- 1.E.1 Covering maps and quotients by a discrete group.- 1.E.2 Submersions and fibrations.- 1.E.3 Homogeneous spaces.
- 1.F Tensors.- 1.F.1 Tensor product (a digest).- 1.F.2 Tensor bundles.- 1.F.3 Operations on tensors.- 1.F.4 Lie derivatives.- 1.F.5 Local operators, differential operators.- 1.F.6 A characterization for tensors.
- 1.G. Differential forms.- 1.G.1 Definitions.- 1.G.2 Exterior derivative.- 1.G.3 Volume forms.- 1.G.4 Integration on an oriented manifold.- 1.G.5 Haar measure on a Lie group.
- 1.H Partitions of unity.
- 2 Riemannian metrics.
- 2.A Existence theorems and first examples.- 2.A.1 Basic definitions.- 2.A.2 Submanifolds of Euclidean or Minkowski spaces.- 2.A.3 Riemannian submanifolds, Riemannian products.- 2.A.4 Riemannian covering maps, flat tori.- 2.A.5 Riemannian submersions, complex projective space.- 2.A.6 Homogeneous Riemannian spaces.
- 2.B Covariant derivative.- 2.B.1 Connections.- 2.B.2 Canonical connection of a Riemannian submanifold.- 2.B.3 Extension of the covariant derivative to tensors.- 2.B.4 Covariant derivative along a curve.- 2.B.5 Parallel transport.- 2.B.6 natural metric on the tangent bundle.
- 2.C Geodesies.- 2.C.1 Definition, first examples.- 2.C.2 Local existence and uniqueness for geodesies, exponential map.- 2.C.3 Riemannian manifolds as metric spaces.- 2.C.4 An invitation to isosystolic inequalities.- 2.C.5 Complete Riemannian manifolds, Hopf-Rinow theorem.- 2.C.6 Geodesies and submersions, geodesies of PnC.- 2.C.7 Cut-locus.- 2.C.8 The geodesic flow.
- 2.D A glance at pseudo-Riemannian manifolds.- 2.D.1 What remains true?.- 2.D.2 Space, time and light-like curves.- 2.D.3 Lorentzian analogs of Euclidean spaces, spheres and hegeode spaces.- 2.D.4 (In)completeness.- 2.D.5 The Schwarzschild model.- 2.D.6 Hyperbolicity versus ellipticity.
- 3 Curvature.
- 3.A. The curvature tensor.- 3.A.1 Second covariant derivative.- 3.A.2 Algebraic properties of the curvature tensor.- 3.A.3 Computation of curvature: some examples.- 3.A.4 Ricci curvature, scalar curvature.
- 3.B. First and second variation.- 3.B.1 Technical preliminaries.- 3.B.2 First variation formula.- 3.B.3 Second variation formula.
- 3.C. Jacobi vector fields.- 3.C.1 Basic topics about second derivatives.- 3.C.2 Index form.- 3.C.3 Jacobi fields and exponential map.- 3.C.4 Applications.
- 3.D. Riemannian submersions and curvature.- 3.D.1 Riemannian submersions and connections.- 3.D.2 Jacobi fields of PnC.- 3.D.3 O’Neill’s formula.- 3.D.4 Curvature and length of small circles. Application to Riemannian submersions.
- 3.E. The behavior of length and energy in the neighborhood of a geodesic.- 3.E.1 Gauss lemma.- 3.E.2 Conjugate points.- 3.E.3 Some properties of the cut-locus.
- 3.F Manifolds with constant sectional curvature.
- 3.G Topology and curvature: two basic results.- 3.G.1 Myers’ theorem.- 3.G.2 Cartan-Hadamard’s theorem.
- 3.H. Curvature and volume.- 3.H.1 Densities on a differentiable manifold.- 3.H.2 Canonical measure of a Riemannian manifold.- 3.H.3 Examples: spheres, hyperbolic spaces, complex projective spaces.- 3.H.4 Small balls and scalar curvature.- 3.H.5 Volume estimates.
- 3.I. Curvature and growth of the fundamental group.- 3.I.1 Growth of finite type groups.- 3.I.2 Growth of the fundamental group of compact manifolds with negative curvature
.- 3.J. Curvature and topology: some important results.- 3.J.1 Integral formulas.- 3.J.2 (Geo)metric methods.- 3.J.3 Analytic methods.- 3.J.4 Coarse point of view: compactness theorems.
- 3.K. Curvature tensors and representations of the orthogonal group.- 3.K.1 Decomposition of the space of curvature tensors.- 3.K.2 Conformally flat manifolds.- 3.K.3 The Second Bianchi identity.
- 3.L. Hyperbolic geometry.- 3.L.1 Introduction.- 3.L.2 Angles and distances in the hyperbolic plane.- 3.L.3 Polygons with “many” right angles.- 3.L.4 Compact surfaces.- 3.L.5 Hyperbolic trigonometry.- 3.L.6 Prescribing constant negative curvature.- 3.L.7 A few words about higher dimension.
- 3.M. Conformai geometry.- 3.M.2 Introduction.- 3.M.3 The Möbius group.- 3.M.4 Conformai, elliptic and hyperbolic geometry.
- 4 Analysis on manifolds.
- 4.A. Manifolds with boundary.- 4.A.1 Introduction.- 4.A.2 Stokes theorem and integration by parts.
- 4.B. Bishop inequality.- 4.B.1 Some commutation formulas.- 4.B.2 Laplacian of the distance function.- 4.B.3 Another proof of Bishop’s inequality.- 4.B.4 Heintze-Karcher inequality.
- 4.C. Differential forms and cohomology.- 4.C.1 The de Rham complex.- 4.C.2 Differential operators and their formal adjoints.- 4.C.3 The Hodge-de Rham theorem.- 4.C.4 A second visit to the Bochner method.
- 4.D. Basic spectral geometry.- 4.D.1 The Laplace operator and the wave equation.- 4.D.2 Statement of basic results on the spectrum.
- 4.E. Some examples of spectra.- 4.E.1 Introduction.- 4.E.2 The spectrum of flat tori.- 4.E.3 Spectrum of (Sn, can).
- 4.F The minimax principle.
- 4.G Eigenvalues estimates.- 4.G.1 Introduction.- 4.G.2 Bishop’s inequality and coarse estimates.- 4.G.3 Some consequences of Bishop’s theorem.- 4.G.4 Lower bounds for the first eigenvalue.
- 4.H. Paul Levy’s isoperimetric inequality.- 4.H.1 The statement.- 4.H.2 The proof.
- 5 Riemannian submanifolds.
- 5.A. Curvature of submanifolds.- 5.A.1 Second fundamental form.- 5.A.2 Curvature of hypersurfaces.- 5.A.3 Application to explicit computations of curvatures.
- 5.B Curvature and convexity.
- 5.C Minimal surfaces.- 5.C.1 First results.- 5.C.2 Surfaces with constant mean curvature.
- A Some extra problems.
- B Solutions of exercises.
- List of figures.Côte titre : Fs/2697-2698 Riemannian geometry [texte imprimé] / Sylvestre Gallot (1948-....), Auteur ; Dominique Hulin (1959-....), Auteur ; Jacques Lafontaine (1944-....), Auteur . - 3e éd. . - Berlin : Springer, 2004 . - 1 vol. (322 p.) : fig. ; 24 cm. - (Universitext (Berlin. Print), ISSN 0172-5939) .
ISBN : 978-3-540-20493-0
Langues : Anglais (eng)
Catégories : Mathématique Mots-clés : Géométrie de Riemann Index. décimale : 516.3 Géométries analytiques Résumé :
Ce livre, basé sur un cours de troisième cycle sur la géométrie riemannienne et l'analyse des variétés, tenu à Paris, aborde les thèmes des variétés différentielles, les métriques riemanniennes, les connexions, la géodésique et la courbure, en mettant l'accent sur les caractéristiques intrinsèques du sujet. Les résultats classiques sur les relations entre courbure et topologie sont traités en détail. Le livre est assez autonome, en supposant que le lecteur utilise uniquement le calcul différentiel dans l'espace euclidien. Il contient de nombreux exercices avec des solutions complètes et une série d’exemples détaillés qui sont choisis de manière répétée pour illustrer chaque nouvelle définition ou propriété introduite.Pour cette troisième édition, des thèmes relatifs au flux géodésique et à la géométrie lorentzienne ont été ajoutés et précisés dans le même esprit.Note de contenu :
Sommaire
1 Differential manifolds.
- 1.A From submanifolds to abstract manifolds.-
1.A.1 Submanifolds of Euclidean spaces.- 1.A.2 Abstract manifolds.- 1.A.3 Smooth maps.
- 1.B The tangent bundle.- 1.B.1 Tangent space to a submanifold of Rn+k.- 1.B.2 The manifold of tangent vectors.- 1.B.3 Vector bundles.- 1.B.4 Tangent map.
- 1.C Vector fields.- 1.C.1 Definitions.- 1.C.2 Another definition for the tangent space.- 1.C.3 Integral curves and flow of a vector field.- 1.C.4 Image of a vector field by a diffeomorphism.
- 1.D Baby Lie groups.- 1.D.1 Definitions.- 1.D.2 Adjoint representation.
- 1.E Covering maps and fibrations.- 1.E.1 Covering maps and quotients by a discrete group.- 1.E.2 Submersions and fibrations.- 1.E.3 Homogeneous spaces.
- 1.F Tensors.- 1.F.1 Tensor product (a digest).- 1.F.2 Tensor bundles.- 1.F.3 Operations on tensors.- 1.F.4 Lie derivatives.- 1.F.5 Local operators, differential operators.- 1.F.6 A characterization for tensors.
- 1.G. Differential forms.- 1.G.1 Definitions.- 1.G.2 Exterior derivative.- 1.G.3 Volume forms.- 1.G.4 Integration on an oriented manifold.- 1.G.5 Haar measure on a Lie group.
- 1.H Partitions of unity.
- 2 Riemannian metrics.
- 2.A Existence theorems and first examples.- 2.A.1 Basic definitions.- 2.A.2 Submanifolds of Euclidean or Minkowski spaces.- 2.A.3 Riemannian submanifolds, Riemannian products.- 2.A.4 Riemannian covering maps, flat tori.- 2.A.5 Riemannian submersions, complex projective space.- 2.A.6 Homogeneous Riemannian spaces.
- 2.B Covariant derivative.- 2.B.1 Connections.- 2.B.2 Canonical connection of a Riemannian submanifold.- 2.B.3 Extension of the covariant derivative to tensors.- 2.B.4 Covariant derivative along a curve.- 2.B.5 Parallel transport.- 2.B.6 natural metric on the tangent bundle.
- 2.C Geodesies.- 2.C.1 Definition, first examples.- 2.C.2 Local existence and uniqueness for geodesies, exponential map.- 2.C.3 Riemannian manifolds as metric spaces.- 2.C.4 An invitation to isosystolic inequalities.- 2.C.5 Complete Riemannian manifolds, Hopf-Rinow theorem.- 2.C.6 Geodesies and submersions, geodesies of PnC.- 2.C.7 Cut-locus.- 2.C.8 The geodesic flow.
- 2.D A glance at pseudo-Riemannian manifolds.- 2.D.1 What remains true?.- 2.D.2 Space, time and light-like curves.- 2.D.3 Lorentzian analogs of Euclidean spaces, spheres and hegeode spaces.- 2.D.4 (In)completeness.- 2.D.5 The Schwarzschild model.- 2.D.6 Hyperbolicity versus ellipticity.
- 3 Curvature.
- 3.A. The curvature tensor.- 3.A.1 Second covariant derivative.- 3.A.2 Algebraic properties of the curvature tensor.- 3.A.3 Computation of curvature: some examples.- 3.A.4 Ricci curvature, scalar curvature.
- 3.B. First and second variation.- 3.B.1 Technical preliminaries.- 3.B.2 First variation formula.- 3.B.3 Second variation formula.
- 3.C. Jacobi vector fields.- 3.C.1 Basic topics about second derivatives.- 3.C.2 Index form.- 3.C.3 Jacobi fields and exponential map.- 3.C.4 Applications.
- 3.D. Riemannian submersions and curvature.- 3.D.1 Riemannian submersions and connections.- 3.D.2 Jacobi fields of PnC.- 3.D.3 O’Neill’s formula.- 3.D.4 Curvature and length of small circles. Application to Riemannian submersions.
- 3.E. The behavior of length and energy in the neighborhood of a geodesic.- 3.E.1 Gauss lemma.- 3.E.2 Conjugate points.- 3.E.3 Some properties of the cut-locus.
- 3.F Manifolds with constant sectional curvature.
- 3.G Topology and curvature: two basic results.- 3.G.1 Myers’ theorem.- 3.G.2 Cartan-Hadamard’s theorem.
- 3.H. Curvature and volume.- 3.H.1 Densities on a differentiable manifold.- 3.H.2 Canonical measure of a Riemannian manifold.- 3.H.3 Examples: spheres, hyperbolic spaces, complex projective spaces.- 3.H.4 Small balls and scalar curvature.- 3.H.5 Volume estimates.
- 3.I. Curvature and growth of the fundamental group.- 3.I.1 Growth of finite type groups.- 3.I.2 Growth of the fundamental group of compact manifolds with negative curvature
.- 3.J. Curvature and topology: some important results.- 3.J.1 Integral formulas.- 3.J.2 (Geo)metric methods.- 3.J.3 Analytic methods.- 3.J.4 Coarse point of view: compactness theorems.
- 3.K. Curvature tensors and representations of the orthogonal group.- 3.K.1 Decomposition of the space of curvature tensors.- 3.K.2 Conformally flat manifolds.- 3.K.3 The Second Bianchi identity.
- 3.L. Hyperbolic geometry.- 3.L.1 Introduction.- 3.L.2 Angles and distances in the hyperbolic plane.- 3.L.3 Polygons with “many” right angles.- 3.L.4 Compact surfaces.- 3.L.5 Hyperbolic trigonometry.- 3.L.6 Prescribing constant negative curvature.- 3.L.7 A few words about higher dimension.
- 3.M. Conformai geometry.- 3.M.2 Introduction.- 3.M.3 The Möbius group.- 3.M.4 Conformai, elliptic and hyperbolic geometry.
- 4 Analysis on manifolds.
- 4.A. Manifolds with boundary.- 4.A.1 Introduction.- 4.A.2 Stokes theorem and integration by parts.
- 4.B. Bishop inequality.- 4.B.1 Some commutation formulas.- 4.B.2 Laplacian of the distance function.- 4.B.3 Another proof of Bishop’s inequality.- 4.B.4 Heintze-Karcher inequality.
- 4.C. Differential forms and cohomology.- 4.C.1 The de Rham complex.- 4.C.2 Differential operators and their formal adjoints.- 4.C.3 The Hodge-de Rham theorem.- 4.C.4 A second visit to the Bochner method.
- 4.D. Basic spectral geometry.- 4.D.1 The Laplace operator and the wave equation.- 4.D.2 Statement of basic results on the spectrum.
- 4.E. Some examples of spectra.- 4.E.1 Introduction.- 4.E.2 The spectrum of flat tori.- 4.E.3 Spectrum of (Sn, can).
- 4.F The minimax principle.
- 4.G Eigenvalues estimates.- 4.G.1 Introduction.- 4.G.2 Bishop’s inequality and coarse estimates.- 4.G.3 Some consequences of Bishop’s theorem.- 4.G.4 Lower bounds for the first eigenvalue.
- 4.H. Paul Levy’s isoperimetric inequality.- 4.H.1 The statement.- 4.H.2 The proof.
- 5 Riemannian submanifolds.
- 5.A. Curvature of submanifolds.- 5.A.1 Second fundamental form.- 5.A.2 Curvature of hypersurfaces.- 5.A.3 Application to explicit computations of curvatures.
- 5.B Curvature and convexity.
- 5.C Minimal surfaces.- 5.C.1 First results.- 5.C.2 Surfaces with constant mean curvature.
- A Some extra problems.
- B Solutions of exercises.
- List of figures.Côte titre : Fs/2697-2698 Exemplaires (2)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité Fs/2697 Fs/2697-2698 Livre Bibliothéque des sciences Anglais Disponible
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